Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Метод Крамера



При решении методом Крамера используем определители -го порядка. Пусть задана система (1). Составим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

.

ТЕОРЕМА. Если определитель системы , то систему (1) можно решить по формуле Крамера, причем это решение единственное:

; ; …; ,

где определитель может быть получен из главного определителя путем замены -го столбца на столбец из свободных членов.

Если главный определитель и при этом хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то система уравнений не имеет решения.

Если главный и все вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесконечно много решений.

Пример2.

.

Составляем главный определитель, элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

и три вспомогательных определителя:

; ; .

Определитель составлен из определителя путем замены элементов первого столбца свободными членами системы уравнений. В определителях и соответственно второй и третий столбцы заменены свободными членами. Вычислим все четыре определителя.

;

;

;

.

Неизвестные , , находим по формулам

; ; ;

; ; .

Замечание: для вычисления определителей можно использовать свойства определителей, например, такое: если из одной строки вычесть другую, умноженную на любое число, и результат записать на место этой строки, то определитель не изменится. То же и для столбцов. Так, меняя определитель предварительно на такой, у которого в некоторой строке или некотором столбце 2 нуля, избежим таких вычислений, как вышеуказанные. Покажем, как можно было вычислить первый определитель : сначала заметим, что третий и первый столбец имеют равные элементы. Поэтому разность третьего и первого столбцов имеет два нуля: .

Тогда вместо исходного определителя будем находить равный ему, полученный, если вместо третьего столбца на его место поставим разность его и первого:

Здесь второй определитель имеет в третьем столбце два нуля. Поэтому мы его легко вычислим разложением по третьему столбцу:.

.

Если таких удачных двух столбцов или строк нет, то все равно можно получить два нуля в строке или столбце. Покажем это на примере второго определителя: . Выберем ту строку или столбец, где есть 1. Мы выберем первую строку, потому что в третьей строке на том же месте есть -1. Поэтому ноль там получится просто прибавлением к ней первой строки. Теперь получим новую третью строку, вместо прежней поставив на это место сумму ее и первой: .Важно: первую строку мы менять не можем, потому что ею «пользуемся» для обнуления других. Итак, в третьем столбце будет уже один 0:

. Остается две возможности: либо раскладывать по третьему столбцу, где всего один, а не два нуля. Это все равно лучше, чем когда нет нулей. Или: еще чуть потрудиться и получить таки второй нуль - превратив в него 3. Как же получить в третьем столбце второй 0? Вот как: чтобы «обнулить» тройку во второй строке, вычтем из второй строки первую, умноженную на 3:

.

Это будет вторая строка вместо прежней.

Итак, наш определитель равен такому, у которого два нуля в третьем столбце, вычислим его разложением по третьему столбцу:

Здесь мы воспользовались еще одним свойством определителей: из строки (или столбца) можно выносить за знак определителя общий множитель. Мы вынесли из первой строки -11, из второй 3.

Заметим, что как раз такие преобразования определителей и называются элементарными преобразованиями, и именно они применяются в следующем параграфе для приведения системы к треугольному или трапецеидальному виду согласно методу Гаусса. Поэтому стоит освоить их уже на этапе вычисления определителей.





Дата публикования: 2015-04-10; Прочитано: 284 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.009 с)...