 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Метод Крамера
|
|
При решении методом Крамера используем определители 
-го порядка. Пусть задана система (1). Составим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных:
.
ТЕОРЕМА. Если определитель системы 
, то систему (1) можно решить по формуле Крамера, причем это решение единственное:
; 
; …; 
,
где определитель 
может быть получен из главного определителя путем замены 
-го столбца на столбец из свободных членов.
Если главный определитель 
и при этом хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то система уравнений не имеет решения.
Если главный и все вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесконечно много решений.
Пример2.
.
Составляем главный определитель, элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:
и три вспомогательных определителя:
; 
; 
.
Определитель 
составлен из определителя 
путем замены элементов первого столбца свободными членами системы уравнений. В определителях 
и 
соответственно второй и третий столбцы заменены свободными членами. Вычислим все четыре определителя.
;
;
;
.
Неизвестные 
, 
, 
находим по формулам
; 
; 
;
; 
; 
.
Замечание: для вычисления определителей можно использовать свойства определителей, например, такое: если из одной строки вычесть другую, умноженную на любое число, и результат записать на место этой строки, то определитель не изменится. То же и для столбцов. Так, меняя определитель предварительно на такой, у которого в некоторой строке или некотором столбце 2 нуля, избежим таких вычислений, как вышеуказанные. Покажем, как можно было вычислить первый определитель 
: сначала заметим, что третий и первый столбец имеют равные элементы. Поэтому разность третьего и первого столбцов имеет два нуля: 
.
Тогда вместо исходного определителя будем находить равный ему, полученный, если вместо третьего столбца на его место поставим разность его и первого:
Здесь второй определитель имеет в третьем столбце два нуля. Поэтому мы его легко вычислим разложением по третьему столбцу:.
.
Если таких удачных двух столбцов или строк нет, то все равно можно получить два нуля в строке или столбце. Покажем это на примере второго определителя: 
. Выберем ту строку или столбец, где есть 1. Мы выберем первую строку, потому что в третьей строке на том же месте есть -1. Поэтому ноль там получится просто прибавлением к ней первой строки. Теперь получим новую третью строку, вместо прежней поставив на это место сумму ее и первой: 
.Важно: первую строку мы менять не можем, потому что ею «пользуемся» для обнуления других. Итак, в третьем столбце будет уже один 0:
. Остается две возможности: либо раскладывать по третьему столбцу, где всего один, а не два нуля. Это все равно лучше, чем когда нет нулей. Или: еще чуть потрудиться и получить таки второй нуль - превратив в него 3. Как же получить в третьем столбце второй 0? Вот как: чтобы «обнулить» тройку во второй строке, вычтем из второй строки первую, умноженную на 3:
.
Это будет вторая строка вместо прежней.
Итак, наш определитель равен такому, у которого два нуля в третьем столбце, вычислим его разложением по третьему столбцу:
Здесь мы воспользовались еще одним свойством определителей: из строки (или столбца) можно выносить за знак определителя общий множитель. Мы вынесли из первой строки -11, из второй 3.
Заметим, что как раз такие преобразования определителей и называются элементарными преобразованиями, и именно они применяются в следующем параграфе для приведения системы к треугольному или трапецеидальному виду согласно методу Гаусса. Поэтому стоит освоить их уже на этапе вычисления определителей.
Дата публикования: 2015-04-10; Прочитано: 283 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
