Вычисление определителя разложением по строке (или столбцу)

Чтобы вычислить определитель, надо взять какую-нибудь строку (или какой-нибудь столбец) и каждый элемент этой строки умножить на его алгебраическое дополнение. Сумма этих произведений и будет давать определитель. Это называется разложением по i -й строке. Для примера напишем формулу вычисления определителя разложением по первой строке:

,

Можно вместо первой разложить по второй или третьей строке. От выбора строки результат не меняется. Аналогично можно разложить по элементам любого столбца. Выбор строки или столбца делаем из соображений простоты вычислений: если есть где-то нули, по таким строкам вычисления короче. Если два элемента строки или столбца равны 0, то сумма будет состоять из одного слагаемого и объем работы сократится втрое. Далее будут указаны способы, как привести определитель к равному ему, но в котором есть строка или столбец с двумя нулями, и уже тот вычислять.

Пример1.

.

Вычислим определитель разложением по элементам строки. Предположим, что мы не хотим думать и, вместо того, чтобы увидеть строку номер два с нулем, просто применяем формулу, написанную выше – разложения по первой строке. Тогда , , .

.

– получен вычеркиванием первой строки и первого столбца.

.

– получен вычеркиванием первой строки и второго столбца.

.

Тогда

Если же раскладывать по второй строке, то получаем два, а не три слагаемых. Убедиться, что так проще, предлагается самостоятельно.