Метод Гаусса (на примере системы трех уравнений с тремя неизвестными,)

В результате элементарных преобразований добиваются так называемого «ступенчатого» или «треугольного» вида системы:

То есть того, чтобы в последнем уравнении системы осталось одно неизвестное (), во втором – 2 неизвестных ( и ) а в первом – 3 неизвестных (, , ). За ведущее (первое) уравнение берется то, в котором коэффициент при равен 1. Если такого уравнения нет, то его легко получить, вычитая строки из строк, или разделив любое из уравнений системы на коэффициент при .

Ведущим уравнением данной системы (2) будет последнее. Поменяем его местами с первым. Перепишем систему:

(3)

Первым шагом будет: избавиться от во втором уравнении (получение нуля слева во втором уравнении):

Для этого а) умножим первое уравнение на 2: станет , теперь у него и второго уравнения одинаковые слагаемые с х, поэтому:

б) вычитаем это из второго уравнения, получаем уравнение: , которое записываем вместо второго уравнения:

. Далее надо избавиться от х в третьем уравнении. Для этого первое уравнение умножаем на 5: станет ,

и вычитаем это из третьего уравнения. Результат:

записываем на месте третьего уравнения. Первое уравнение при этом переписываем без изменений. Получим

(4)

Системы уравнений (2) - (4) эквиваленты, т. е. они имеют одно и то же множество решений.

Теперь осталось «избавиться» от у в третьем уравнении. Для этого в общем случае надо поступить так: взять в качестве «ведущей» уже вторую строку, умножить ее на такое число, чтобы коэффициент при у в ней стал равен коэффициенту при у в третьей строке и после вычесть из третьей строки это. Но нам «повезло»: коэффициенты уже оказались равными. Поэтому мы просто вычитаем из третьей строки вторую и результат, сокращенный на -1:

пишем в третью строку. Первое уравнение при этом не трогаем (если вычитать его, «испортим» отсутствие х). Вторую, «ведущую» в этот раз, строку – тоже оставляем на месте (это важно – не менять ведущие строки на их местах). Результат записываем на месте третьего уравнения. Тогда

. (5)

Итак, согласно методу Гаусса мы привели систему (2) к треугольному виду (5). Теперь она легко решается: Из последнего уравнения . Подставляем это значение во втрое уравнение системы и находим :

, значит .

В первое уравнение подставляем значения и , получаем

Откуда .

Ответ: ; ; .

Рекомендуется сделать проверку.

Заметим, что абсолютно те же действия можно производить не с самими уравнениями, а со строками матрицы из коэффициентов системы. Это тоже будет метод Гаусса решения систем. Для этого системе поставим в соответствие таблицу из ее коэффициентов:

. Где , . Элементарными преобразованиями будут:

1) поменять местами две строки (но не столбцы: потому что столбцы соответствуют разным неизвестным x, y или z).

2) из одной строки вычесть или прибавить другую, умноженную на некоторое число. При этом вторая строка должна оставаться на своем месте без изменений.

Тогда мы переходим от одной системы с ее матрицей к равносильной – с новой матрицей. По методу Гаусса мы должны перейти к системе треугольного или трапецеидального (ступенчатого) вида: с матрицей

, которую легко потом решим или исследуем на совместимость, восстановив ее по ее матрице и начиная решать с последнего уравнения.

Если последнее уравнение получилось: 0= k, и при этом , то система несовместна (как содержащая неверное равенство).

Если же , то это не уравнение (которое что-то позволяет найти), а тождество 0=0, поэтому его можно просто выкинуть. Оставшаяся система содержит меньше уравнений, чем неизвестных, поэтому она имеет бесчисленное множество решений (система называется в этом случае неопределенной). Как найти вид этого множества решений, показано в образце решения контрольной работы на примере решения задания 5

Пример 4.

Решим таким образом систему из параграфа 4 (сравнив решение с методом Крамера, которым ее там решали, см. пример 2):

.

Составим ее матрицу:

. Опять заметим, что нам «больше всего нравится» третий столбец, где есть 1 и -1 и вспомним, как мы обнуляли там два коэффициента. Но по методу Гаусса надо обнулить второй и третий элементы в первом столбце. Поэтому мы все же, хотя операции со столбцами «запрещены», ухитримся поменять местами первый и третий столбцы. Для этого добавим «пометку», что бывший третий, а теперь первый столбец будет коэффициентами при z, а бывший первый, а теперь третий – коэффициентами при х: .

Теперь первый шаг по методу Гаусса должен «обнулить» все числа в первом столбце, стоящие под главной диагональю: схематически должно стать:

(красным показана главная диагональ).

Именно эти два числа и обнулялись в определителе .Чтобы обнулить -1, мы к третьей строке прибавляли первую. Чтобы обнулить 3, мы из второй строки вычитали первую, умноженную на 3. Итак, третья строка станет:

А вторая станет:

Итак, первый шаг метода Гаусса привел к равносильной матрице системы:

Второй шаг метода Гаусса должен привести матрицу к треугольному виду: то есть под главной диагональю должны быть все 0:

.

То есть по идее надо число 9 обнулить. Опять напомним, что первую строку мы уже не трогаем. Это делается вычитанием из третьей строки второй с нужным коэффициентом (-9/11). Но мы можем обойтись без таких неприятных умножений, потому что имеем право в любой момент поменять строки местами. И вот нам стоит обратить внимание, что если мы поменяем вторую строку и третью, то фактически матрица станет уже и так треугольной:

- потому что 0 хоть и стоит не на месте, но главное – что в третьей строке теперь два нуля. Чтобы матрица стала треугольной, надо опять аккуратно поменять местами второй и третий столбцы, отмечая, при каких они переменных:

. Вот теперь мы видим, что треугольный вид получен. Можно возвращаться к системе, которой соответствует этот матричный вид:

.

Эта «ступенчатая» или «треугольная» система хороша тем, что решается, просто начиная с последнего уравнения: находим у=1,подставляем во второе: .

Затем оба найденных х=1и у=1 подставляем в первое:

Заметим, что прежде, чем возвращаться от матрицы к системе, можно сделать матрицу «еще лучше»: сократив строки на общий множитель. Так же, как в параграфе 4, сократим на -11 третью строку, и на 3 - вторую.

. Далее можно снова восстановить систему – и убедиться, что ее решить стало еще проще. А можно доделать метод Гаусса «до конца» - то есть привести эту матрицу к диагональному виду:

. Для этого «пройдемся» обратным ходом: ведущей строкой будет третья, она уже какая надо. Обнулим во второй строке элемент 3. Для этого из второй строки вычтем третью, умноженную на 3: .

Получим:

Затем обнулим элементы 1 и 2 в первой строке, вычитая из нее вторую строку и третью, умноженную на 2:

.

Итак, получилась диагональная матрица системы: .

Которая восстанавливает не систему, а уже сразу ее ответ:

Кроме того, систему можно решить и матричным способом. Чтобы освоить этот метод, познакомимся с некоторыми сведениями о матрицах.