Материалы для СРС

1. Найти координаты вершин и единичной точки проективного репера .

2. Записать формулы преобразования кординат точек проективной плоскости, если матрица перехода от репера к реперу имеет вид

3. Написать формулы преобразования координат при переходе от репера к реперу , если

4. Написать формулы преобразования координат при переходе от репера к реперу , если

5. Написать формулы преобразования координат при переходе от репера к реперу , если

6. Написать формулы преобразования координат при переходе от репера к реперу , если

7. Точки при преобразовании переходят соответственно в точки . Найти новые координаты точки М(1:1:1)

8. Найти проективное преобразование, переводящее точки (1:0:1), (2:1:1), (3:-1:0), (2:5:2) соответственно в точки (-1:0:3), (1:1:3), (2:3:8), (3:0:-4)

9. В какую точку переходит точка А(1:2:3) при проективном преобразовании

10. В какую точку переходит точка А(-1:2:3) при проективном преобразовании

11. В какую точку переходит точка А(-1:2:1) при проективном преобразовании

12. Как расположены точки (5:1:3), (-2:4:-3) и (8:6:3)?

13. Как расположены точки (6:1:-3), (-5:1:-3) и (2:6:3)?

14. Как расположены точки (1:1:3), (-3:4:-1) и (8:1:-3)?

15. Найти уравнение прямой АВ, если А(2:-1:1) и В(1:3:-2)

19. Найти уравнение прямой АВ, если А(1:-1:0) и В(1:1:2)

20. Найти уравнение прямой АВ, если А(2:0:1) и В(1:1:-2)

21. Найти координаты прямой

29. Найти координаты прямой

30. Найти координаты прямой

31. Найти точку пересечения прямых и

32. Найти точку пересечения прямых и

33. В какую прямую переходит прямая при проективном преобразовании

34. В какую прямую переходит прямая при проективном преобразовании

35. В системе координат записать общий вид уравнения линии второго порядка, проходящей через четыре точки (2:1:1), (0:1:1), (1:-1:1), (1:3:0).

36. Определить к какому типу принадлежит линия второго порядка ?

37. Определить к какому типу принадлежит линия второго порядка ?

38. В какую точку переходит точка А(1:-2:4) при проективном преобразовании

39. В какую точку переходит точка А(1:5:-3) при проективном преобразовании

40. В какую точку переходит точка А(1:0:1) при проективном преобразовании

41. Согласно принципу двойственности на плоскости сформулируйте утверждение двойственное данному: «существует одна и только одна прямая, принадлежащая двум различным точкам»

42. Согласно принципу двойственности на плоскости сформулируйте утверждение двойственное данному: «существует одна и только одна точка, принадлежащая двум различным прямым»

43. Согласно принципу двойственности на плоскости сформулируйте утверждение двойственное данному: «Каждой прямой принадлежит бесконечное множество точек»

44. Согласно принципу двойственности на плоскости сформулируйте утверждение двойственное данному: «Каждой точке принадлежит бесконечное множество прямых»

45. Согласно принципу двойственности на плоскости сформулируйте утверждение двойственное данному: «существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой»

46. Согласно принципу двойственности на плоскости сформулируйте утверждение двойственное данному: «существуют по крайней мере три прямые, не принадлежащие одной точке»

47. Согласно принципу двойственности в пространстве сформулируйте утверждение двойственное данному: «существует одна и только одна прямая, принадлежащая двум различным точкам»

48. Согласно принципу двойственности в пространстве сформулируйте утверждение двойственное данному: «существует одна и только одна прямая, принадлежащая двум различным плоскостям»

49. Согласно принципу двойственности в пространстве сформулируйте утверждение двойственное данному: «если две прямые a и b принадлежат одной плоскости , то существует точка, принадлежащая как прямой а, так и прямой b»

50. Согласно принципу двойственности в пространстве сформулируйте утверждение двойственное данному: «если две прямые a и b принадлежат одной точке А, то существует плоскость , принадлежащая как прямой а, так и прямой b»

51. Согласно принципу двойственности в пространстве сформулируйте утверждение двойственное данному: «Точка А, принадлежащая обеим плоскостям , лежит и на прямой »

52. Согласно принципу двойственности в пространстве сформулируйте утверждение двойственное данному: «Плоскость , проходящая через точки А и В, проходит и через прямую АВ»

53. Найти сложное отношение точек

54. Найти сложное отношение точек

55. Найти сложное отношение точек

56. Найти сложное отношение точек

57. Найти сложное отношение точек

58. Найти сложное отношение точек

59. Найти сложное отношение точек

60. Найти сложное отношение точек

Глоссарии

№	Новые понятия	Содержание
	Элементы проективной геометрии	1. Непустое множество Р называется проективным пространством n измерений(порожденным векторным пространством V), если задано отображение , удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам проективного прострнства): 1. отображение сюрьективно; 2. равенство выполняется тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны. Элементы множества Р называются точками проективного пространства и обозначаются .
	Прямая на проективной плоскости	2. Уравнение прямой проходящей через точки записывается:
	Принцип двойственности	Принцип двойственности на плоскости: Если справедливо утверждение , в котором говорится о точках, прямых на проективной плоскости и об их взаимной принадлежности, то справедливо и так называемое двойственное предложение , которое получается из заменой слова «точка» словом «прямая»и слова «прямая» словом «точка». Принцип двойственности в пространстве: Если справедливо утверждение , в котором говорится о точках, прямых и плоскостях проективного пространства и об их взаимной принадлежности, то справедливо и так называемое двойственное предложение в пространстве, которое получается из при замене слов «точка» «прямая», «плоскость» соответственно словами «плоскость», «прямая», «точка».
	Преобразование проективной плоскости	Преобразование проективной плоскости назывется проективным, если точкам любой прямой соответствуют точки, лежащие на некоторой прямой так, что сохраняется сложное отношение четырех точек.
5	Кривые второго порядка на проективной плоскости	Множество точек проективной плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению вида: называется линиией или кривой второго порядка.