Градиент

Градиент функции в точке M ₀ (x ₀, y ₀, z ₀) – это вектор:

Частные производные вычисляются в точке M ₀ (x ₀, y ₀, z ₀).

Вектор-градиент показывает направление быстрейшего возрастания функции. Величина скорости возрастания .

В противоположном направлении функция убывает с той же скоростью.

Вектор-градиент перпендикулярен к поверхности уровня:

.

– связь вектора-градиента

с производной по направлению.

1) , u – возрастает в направлении ,

2) , u – убывает в направлении ,

3) , u – не меняется в направлении ,

– направление касательной к поверхности уровня

Пример. Найти наибольшую скорость возрастания функции
в точке

Решение.

Наибольшая скорость возрастания функции Z:

.