Наибольшее и наименьшее значения

функции (глобальные экстремумы)

– функция непрерывная в замкнутой области

Правило исследования

1) Найдем точки, где , или эти производные не существуют.

Выберем из них те, которые входят в область .

2) Пусть уравнение границы области (или ее части): ,
тогда функция на границе
зависит от одной переменной .

Найдём точки, где или не существует и .

Возьмем также крайние точки .

3) Вычислим значения функции во всех указанных точках.

4) Сравнивая все найденные значения, выберем среди них наибольшее и наименьшее .

Замечание. Если граница области задаётся несколькими

уравнениями, то нужно исследовать функцию

на каждом участке границы.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в области .

Решение.

Так как граница области ей

принадлежит, то - замкнутая.

– непрерывна в .

1)

2) Граница области определяется двумя функциями:

a) – парабола, .

.

.

;

;

;

Полученные точки лежат на границе области D:

б) – прямая, .

получены точки:

3) ; .

; .

4) Наибольшее значение в точке .

Наименьшее значение в точке .