Экстремумы функции двух переменных

для всех точек из – окрестности

Необходимые условия экстремума:

Отсюда находим точки , подозрительные на экстремум.

Достаточные условия экстремума:

– точка подозрительная на экстремум, вычисляем

.

1) экстремум есть, причём при ,

;

2) экстремума нет;

3) Þ вопрос открыт.

При исследуем знак :.

если D Z > 0, то в точке M ₀ – min,

если D Z < 0, то в точке M ₀ – max,

если – меняет знак, то экстремума нет.

Пример. Исследовать на экстремум функцию

.

Решение. Область определения функции D: , т.е.

– верхняя полуплоскость.

Необходимые условия экстремума:

или не существуют.

.

не существует при , тогда

т.е. .

– граничная точка области определения , поэтому не может быть точкой локального экстремума по определению.

Достаточные условия экстремума проверяем для точки K (2;4):

.

.

.

.

, экстремум есть.

, следовательно, в точке K (2;4) минимум.

. Ответ: в точке K (2;4).