Степеневі ряди. Знаходження області збіжності рядів

Функціональний ряд називається збіжним в деякій точці , якщо збігається відповідний числовий ряд .

Множина усіх точок збіжності функціонального ряду називається областю його збіжності.

Степеневим рядом називається функціональний ряд виду

, (4.2.8)

де – дійсні числа, які є коефіцієнтами ряду. Степеневим рядом називається також ряд

. (4.2.9)

Теорема Абеля:

1. Якщо степеневий ряд збігається при деякому значенні , тоді він збігається абсолютно при усіх значеннях , для яких ;

2. Якщо степеневий ряд розбігається при деякому значенні , тоді він розбігається при усіх значеннях , для яких .

Радіусом збіжності степеневого ряду називається число таке, що при ряд збігається, а при розбігається. Радіус збіжності степеневого ряду визначається формулою

, (4.2.10)

якщо ця границя існує.

Областю збіжності степеневого ряду називається інтервал , де – радіус збіжності. На границях інтервалу, при і , ряд може як сходитися, так і розходитися.

Зауваження 1. У деяких рядів інтервал збіжності вироджується в точку (), у інших охоплює усю вісь ().

Зауваження 2. Якщо досліджується ряд (4.2.9), тоді інтервал збіжності визначається із співвідношення або .

Зауваження 3. При дослідженні збіжності ряду (4.2.8) на кінцях інтервалу при не має сенсу застосовувати ознаку д′Аламбера, оскільки в цьому випадку завжди виходитиме Рекомендується застосовувати інші ознаки (наприклад, ознаки порівняння).

○ Приклад 4.2.5. Знайти область збіжності степеневого ряду:

а) ; б) ; в) .

Розв’язання. а) Оскільки і , тоді за формулою (4.2.10): . Таким чином, область збіжності степеневого ряду ;

б) Оскільки і , тоді .

Таким чином, область збіжності ряду ;

в) .

Інтервал збіжності ряду .

Дослідимо ряд на границях інтервалу збіжності:

при отримаємо ряд . Цей ряд збігається за ознакою Лейбніця;

при отримаємо ряд . Збіжність цього ряду можна довести за узагальненою ознакою порівняння.

Розглянемо узагальнений гармонійний ряд .

Оскільки і , і , тоді ряд збігається, оскільки збігається еталонний ряд порівняння.

Таким чином, область збіжності ряду . ●

Література: [1, с. 306 – 317, 324-327], [2, с. 356 ‑ 373], [4, с. 379 – 393], [5].

4.3 Завдання для самостійної роботи

4. 1. Дослідити ряди на збіжність:

а) ; б) ; в) ; г) .

4. 2. Знайти область збіжності степеневого ряду:

а) ; б) ; в) .