Невласні інтеграли

Розрізняють невласні інтеграли I– го і II– го роду.

Невласними інтегралами I– го роду називаються інтеграли з нескінченним проміжком інтегрування (або , або ), які визначаються формулами:

; (3.1.10)

; (3.1.11)

, (3.1.12)

Невласні інтеграли можуть мати як скінчене, так і нескінченне значення. Якщо границі не існують або дорівнюють нескінченності, то невласні інтеграли називаються тими, що розбігаються.

○ Приклад 3.1.8. Дослідити на збіжність інтеграли:

а) ; б) .

Розв'язання.

а)

. Інтеграл збігається і його значення дорівнює 1;

б)

.

Оскільки границя не існує, то інтеграл розбігається. ●

Невласним інтегралом II – го роду від функції на за умови, що має розрив другого роду при називається інтеграл, що визначається за формулою

, (3.1.13)

де , .

Інтеграл (3.1.13) збігається, якщо границі в (3.1.13) скінчені і існують. В протилежному випадку інтеграл є таким, що розбігається.

Якщо підінтегральна функція має розрив II – го роду в точках або , то відповідні інтеграли II – го роду обчислюються за формулами:

, (3.1.14)

. (2.1.15)

○ Приклад 3.1.9. Дослідити на збіжність інтеграли: а) ; б) .

Розв'язання.

а) .

Інтеграл збігається;

б)

.

Оскільки границя не існує, то інтеграл розбігається. ●

Література: [1, с. 173 – 195, 198-203], [2, с. 251 ‑ 312], [4, с. 284 – 341], [5], [6].