Диференціальне числення функцій декількох змінних

Частинною похідною за змінною функції називається границя відношення частинного приросту до приросту при прямуванні до нуля і позначається одним з символів

, . (2.2.1)

Таким чином, згідно з означенням

. (2.2.2)

Частинною похідною за змінною функції називається границя відношення частинного приросту до приросту при прямуванні до нуля і позначається одним з символів

, . (2.2.3)

. (2.2.4)

Зауваження. Обчислення частинних похідних функції двох незалежних змінних проводиться за тими ж правилами, за якими обчислюються похідні функції однієї незалежної змінної, тільки слід мати на увазі, що при визначенні частинної похідної треба вважати сталими всі незалежні змінні, окрім тієї, за якою обчислюється частинна похідна.

○ Приклад 2.2.1. Обчислити частинні похідні функції .

Розв'язання. При диференціюванні за змінною функція є степеневою, а при диференціюванні за змінною – показниковою. Знаходимо

, . ●

Правило диференціювання складної функції. Частинна похідна складної функції дорівнює сумі добутків частинних похідних заданої функції по проміжних аргументах ( і ) на частинні похідні цих аргументів ( і ) по відповідній незалежній змінній ( і ):

(2.2.5)

. (2.2.6)

○ Приклад 2.2.2. Знайти частинні похідні і , якщо

, де , .

Розв'язання. Обчислимо частинні похідні, за формулами (2.2.5)–(2.2.6):

, , ,

, , .

В результаті дістанемо

;

. ●

Неявна функція двох змінних визначається рівнянням

, (2.2.7)

яке зв'язує три змінні величини , і .

Частинні похідні неявної функції виражаються через похідні функції :

, . (2.2.8)

○ Приклад 2.2.3. Знайти частинні похідні і функції , заданої рівнянням .

Розв'язання. Знаходимо

, , ,

тому , . ●

Другими частинними похідними ( або частинними похідними другого порядку ) функції називаються величини:

, , , .

і називають мішаними частинними похідними. Мішані частинні похідні рівні між собою за умови їх неперервності в даній точці.

○ Приклад 2.2.4. Обчислити частинні похідні другого порядку функції .

Розв'язання. Обчислимо частинні похідні першого порядку

, .

Знаходимо частинні похідні другого порядку:

; ;

; .●

Література: [1, с. 140 ‑ 150], [2, с. 397 ‑ 417], [4, с. 341 – 363], [5], [6].

2.3 Завдання для самостійної роботи

2.1. Знайти похідні функцій :а) ; д) .

2.2. Знайти похідні функцій, що задані параметрично:

а) ; б) .

2.3. Знайти похідні функцій, що задані неявно:

а) ; б) .

2.4. Знайти похідні функцій : а) ; б) .

2.5. Знайти диференціали функцій : .

2.6. Знайти похідні функцій до третього порядку включно в точці : , .

2.7. Знайти інтервали опуклості, угнутості і точки перегину графіка функцій: .

2.8. Знайти асимптоти графіка функцій :

а) ; б) .

2.9. Дослідити функцію і побудувати її графік.

2.10. Дослідити функцію і побудувати її графік.