![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Числовим рядом називається нескінченна послідовність чисел зв’язаних знаком складання:
. (4.2.1)
Числа називаються членами ряду, а
–й член
– загальним членом ряду. Якщо члени ряду – функції, тоді ряд називається функціональним.
Сума перших членів ряду
називається
– й частковою сумою ряду. Залишком ряду називається сума
.
Ряд називається збіжним, якщо існує кінцева границя послідовності його часткових сум
, тобто
, а залишок
. (4.2.2)
називається сумою ряду:
. (4.2.3)
Ряд, що має кінцеву суму, називається збіжним. Якщо границя послідовності часткових сум нескінченна або не існує, тоді ряд називається розбіжним.
Критерій Коши збіжності числового ряду. Для того, щоб ряд збігався, необхідно і достатньо, щоб для будь–кого
знайшовся номер
, такий, що для будь–кого
і будь–якого цілого
виконувалася умова
.
Необхідна умова збіжності числового ряду. Якщо ряд збігається, тоді границя загального члена при
дорівнює нулю, тобто
. (4.2.4)
Якщо , тоді ряд розбігається.
○ Приклад 4.2.1. Дослідити ряди на збіжність:
а) ; б)
.
Розв’язання. а) Оскільки , тоді необхідна ознака не виконується, ряд розбігається.
б) Оскільки , тоді ряд може збігатись, а може і розбігатись. ●
Перша ознака порівняння рядів. Нехай маємо ряди:
; (4.2.5)
. (4.2.6)
Причому члени першого ряду (4.2.5) не більше членів другого ряду (4.2.6) при будь–кому , тобто
. Тоді із збіжності ряду (4.2.6) виходить збіжність ряду (4.2.5), а з розбіжності ряду (4.2.5) виходить розбіжність ряду (4.2.6).
Зауваження. Оскільки збіжність ряду не змінюється при відкиданні кінцевого числа членів ряду, тоді умова не обов'язково повинна виконуватися з перших членів рядів і тільки для членів з однаковими номерами
. Достатнє виконання умови з деякого номера.
Загальна ознака порівняння. Якщо ряд (4.2.5) додатний, а ряд (4.2.6) строго додатний і існує границя , де
– постійна, тоді ряди одночасно збігаються або розбігаються.
Еталонні ряди порівняння:
1. Гармонійний ряд розбігається
2. Узагальнений гармонійний ряд збігається при
і розбігається при
;
3. Геометричний ряд збігається при
і розбігається при
.
Щоб порівняти ряд з еталонним його треба перетворити.
○ Приклад 4.2.2. Дослідити ряд на збіжність .
Розв’язання. Збіжність цього ряду можна довести за узагальненою ознакою порівняння.
Розглянемо узагальнений гармонійний ряд, що збігається .
Оскільки і
, і
, тоді ряд збігається, оскільки збігається еталонний ряд порівняння. ●
Ознака д′Аламбера. Якщо – загальний член ряду і
, тоді при
ряд збігається, при
ряд розбігається. При
ряд може бути як збіжним, так і розбіжним (для аналізу треба використовувати іншу ознаку).
Ознака Коши. Якщо ряд додатний і
, тоді при
цей ряд збігається, а при
розбігається. При
про збіжність ряду нічого сказати не можна (для аналізу треба використовувати іншу ознаку).
○ Приклад 4.2.3. Дослідити ряд на збіжність:
а) ; б)
; в)
.
Розв’язання. а) Оскільки і
, тоді за ознакою д′Аламбера
ряд розбігається.
б) Оскільки і
,то за ознакою д′Аламбера
ряд збігається.
в) Оскільки , тоді за ознакою Коши
ряд збігається. ●
Дата публикования: 2015-04-06; Прочитано: 1833 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!