Криволінійні і поверхневі інтеграли

Неперервна крива називається простою, якщо при її параметричному завданні кожній її точці відповідає лише одне значення параметра.

Криволінійний інтеграл першого роду від функції по кривій є криволінійним інтегралом подовжині дуги

, (3.2.5)

де – елемент довжини дуги.

Обчислення криволінійного інтеграла першого роду:

1. Якщо крива задана параметричними рівняннями

де функції і неперервні разом з своїми похідними, то одержуємо формулу для обчислення інтеграла (3.2.5)

(3.2.6)

2. Якщо крива задана явним рівнянням

,

то формула (3.2.6) приймає вигляд

(3.2.7)

○ Приклад 3.2.3. Обчислити інтеграл де - чверть еліпса яка лежить в першому квадранті.

Розв'язання. Рівняння еліпса в параметричній формі

тому .

Використовуючи формулу (3.2.6), отримаємо

Зробимо заміну змінних тоді і

. ●

○ Приклад 3.2.4. Обчислити інтеграл де – дуга параболи , яка обмежена точками і

Розв'язання. Оскільки крива задана функцією , то

При русі уздовж дуги параболи від точки до точки змінна змінюється від значення 1 до значення 2. Тоді з (3.2.7), отримаємо

●

Література: [1, с. 273 – 277, 286-295], [2, с. 425 ‑ 428], [6].

3.3 Завдання для самостійної роботи

3.1. Знайти невизначені інтеграли: а) ; б) ;

в) ; г) .

3.2. Знайти невизначені інтеграли: а) ; б) ;

в) ; г) .

3.3. Обчислити інтеграли: а) ; б) ; в) ;

г) .

3.4. Дослідити на збіжність інтеграли: а) ; б) ;

в) ; г) .