Властивості визначеного інтеграла. Заміна змінного та інтегрування частинами

Обчислення визначених інтегралів для неперервної функції полягає в наступному: спочатку знаходять невизначений інтеграл (або первісну ), а потім користуються формулою Ньютона-Лейбніца:

. (3.1.7)

Приведемо без доведення основні властивості визначеного інтеграла:

1. Якщо , то .

2. , де - інтегрована на відрізку функція, ().

3. .

4. Якщо функція інтегрується на найбільшому з відрізків , , , то вона інтегрована на двох інших відрізках, причому

,

де .

5. Якщо функція інтегрована на відрізку , то функція , де – постійне число, також інтегрована, причому

.

6. Якщо функції , , …, інтегровані на відрізку , то їх алгебраїчна сума також інтегрована, причому

.

○ Приклад 2.1.5. Обчислити інтеграли: а) ; б) .

Розв'язання.

а) ;

б) . ●

Методи обчислення визначених інтегралів такі ж, як і при знаходженні невизначених інтегралів.

Метод заміни змінної. Якщо виконані умови: 1. функція неперервна на відрізку ; 2. відрізок є множиною значень функції , що визначена на відрізку і має на ньому неперервну похідну; 3. , , то справедлива формула

. (3.1.8)

○ Приклад 3.1.6. Обчислити інтеграли:

а) ; б) .

Розв'язання. а) ;

б) . ●

Метод інтегрування частинами. Якщо функції , мають неперервні похідні на відрізку , то справедлива формула

. (3.1.9)

○ Приклад 3.1.7. Обчислити інтеграли: а) ; б) .

Розв'язання. а)

;

б)

. ●