Кратні інтеграли

Якщо будь–яка пряма, що проходить через внутрішню точку області і паралельна осі (), перетинає границю області тільки в двох точках, то область називається простою ( або правильною) у напрямі осі ().

Основні види простих областей інтегрування на площині :

1. Область обмежена неперервними лініями і , де і прямими і , де .

2. Область обмежена неперервними лініями , , де і прямими і .

Для таких простих областей подвійний інтеграл обчислюється за формулою:

; (3.2.1)

. (3.2.2)

Праві частини формул (3.2.1) і (3.2.2) називають повторними (або двократними) інтегралами, а процес визначення меж інтегрування – приведенням подвійного інтеграла до повторного.

Площа плоскої фігури дорівнює подвійному інтегралу

. (3.2.3)

Об'єм тіла, обмеженого поверхнею , де – невід'ємна функція, площиною і циліндричною поверхнею, напрямною якої служить границя області , а твірні паралельні осі , чисельно дорівнює подвійному інтегралу від функції по області :

. (3.2.4)

○ Приклад 3.2.2. Обчислити площу області, обмеженої лініями , .

Розв'язання. Визначимо точки перетину ліній і . В точці перетину ординати рівні, тому , .

Ми отримали дві точки перетину і . Отже, площа області, обмеженої лініями і , дорівнює

●