Приклад 2.1.8.Знайти інтервали опуклості, угнутості і точки перегину графіка функції

Розв'язання. Знайдемо першу і другу похідні функції:

; ;

, .

Якщо , то – графік функції є опуклим.

Якщо , то – графік функції є увігнутим.

	–		+
	опуклість	перегин, -12	угнутість

Оскільки друга похідна змінює знак під час переходу через точку з координатами , то це точка перегину. ●

Асимптотою графіка функції називається пряма, відстань до якої від точок кривої функції прямує до нуля, коли остання прямує до нескінченності.

Асимптоти кривих бувають вертикальні, горизонтальні і похилі.

Пряма називається вертикальною асимптотою графіка функції , якщо хоча б одна з односторонніх границь в точці є нескінченною, тобто або .

Пряма називається похилою асимптотою графіка функції , якщо .

Параметри і похилої асимптоти можна отримати з формул:

; . (2.1.15)

Зауваження. При визначенні похилої асимптоти параметри і потрібно знаходити за формулами (2.1.15) при і . Оскільки у графіка функції можуть бути різні похилі асимптоти при і .

Пряма називається горизонтальною асимптотою графіка функції , якщо існує кінцева границя функції

або .

○ Приклад 2.1.9. Знайти асимптоти графіка функції .

Розв'язання. Функція визначена у всіх точках окрім і. Дослідимо функцію в точках розриву:

, ; , ;

і – точки розриву другого роду.

Оскільки і , то і – вертикальні асимптоти графіка функції.

Знайдемо похилу асимптоту:

; .

Таким чином, – похила асимптота.

Оскільки , то графік функції не має горизонтальної асимптоти. ●

Побудова графіків функцій повинна супроводжуватися їх дослідженням.

Загальна схема дослідження функцій:

1. Знайти область визначення функції і точки розриву функції.

2. Перевірити функцію на періодичність, парність, непарність. Знайти точки перетину з осями координат.

3. Знайти точки екстремумів, проміжки зростання і спадання функції. Обчислити значення функції в точках екстремуму.

4. Визначити проміжки опуклості і угнутості на графіку функції, знайти точки перегину.

5. Знайти асимптоти кривої функції.

6. Побудувати графік функції.

Література: [1, с. 100 – 116, 125-133], [2, с. 176 ‑ 250], [4, с. 217 – 284], [5], [6].