Застосування похідних для дослідження функцій

Похідні першого і другого порядку широко використовуються при дослідженні функцій.

Ознака зростання і спадання функцій. Якщо функція диференціюється на інтервалі і у всіх його точках похідна додатна, (від’ємна, ), то функція зростає (спадає) на цьому інтервалі.

Перша достатня умова екстремуму. Якщо функція диференціюється в точці і перша похідна функції змінює знак при переході через точку , то функція досягає в цій точці екстремуму, причому:

1. – точка максимуму, якщо знак змінюється з плюса на мінус;

2. – точка мінімуму, якщо знак змінюється з мінуса на плюс.

Друга достатня умова екстремуму. Якщо функція двічі диференціюється в точці , причому перша похідна функції дорівнює нулю, а друга похідна відмінна від нуля (, ), то функція досягає в цій точці екстремуму, причому:

1. – точка максимуму, якщо ;

2. – точка мінімуму, якщо .

Точки, в яких функція досягає максимального або мінімального значення, називаються точками екстремуму, а значення функції в точці екстремуму називається екстремумом функції.

Точки, в яких похідна функції дорівнює нулю, називаються стаціонарними.

Стаціонарні точки, а також точки, в яких функція не диференціюється, має нескінченну похідну або в якій похідна не існує, називаються критичними точками.

Графік функції називається опуклим (увігнутим ) на інтервалі, якщо всі точки її графіка розташовані нижче (вище) будь-якої дотичної, проведеної в довільній його точці (окрім точок дотику).

Точка, в якій графік функції змінює опуклість на угнутість (або навпаки) називається точкою перегину функції.

Якщо функція двічі диференціюється на інтервалі , то графік функції є опуклим (увігнутим), якщо () для будь-якого .

Якщо друга похідна функції в точці дорівнює нулю і під час переходу через точку змінює знак, то точка є точкою перегину для графіка функції .