Неперервність функцій

Функція називається неперервною в точці , якщо

. (1.3.14)

Якщо функція невизначена в деякій точці або якщо функція в ній визначена, але не є неперервною, то точка називається точкою розриву функції.

Точка розриву функції називається точкою розриву першого роду, якщо функція в цій точці має різні скінчені односторонні границі:

. (1.3.15)

Точка розриву першого роду називається точкою усуненого розриву функції , якщо односторонні границі функції рівні . Якщо змінити або довизначити таку функцію в точці (якщо вона не була визначена), поклавши , то вийде функція, неперервна в точці .

Точка розриву функції називається точкою розриву другого роду, якщо хоча б одна з односторонніх границь , є нескінченною або не існує.

○ Приклад 1.3.5. Дослідити функції на неперервність:

а) в точці ; б) в точці ;

в) в точці ;

г) в точці ;

д) в точці .

Розв’язання. а) Функція не визначена в точці . Це точка розриву:

і .

Оскільки односторонні границі скінчені і різні, то – точка розриву I-го роду (див. рис. 1.3.1а);

б) Функція не визначена в точці . Це точка розриву:

і .

Оскільки односторонні границі нескінченні, то – точка розриву II-го роду (див. рис. 1.3.1б);

в) Функція визначена в точці ; : і .

Оскільки односторонні границі різні і скінчені, то – точка розриву I-го роду (див. рис. 1.3.1в);

а) б) в)

г) д)

Рисунок 1.3.1 – До прикладу 1.3.5:

а) - точка розриву І-го роду; б) - точка розриву ІІ-го роду;

в) - точка розриву І-го роду; г) - точка усуненого розриву;

д) функція неперервна в точці

г) Функція визначена в точці ; : і .

Оскільки односторонні границі співпадають, то – точка усуненого розриву I-го роду (див. рис. 1.3.1г);

д) Функція визначена в точці ; : і .

Оскільки , то функція неперервна в точці (див. рис. 1.3.1д). ●

Література: [1, с. 76 ‑ 100], [2, с. 141 ‑ 166], [4, с. 186 – 203], [5], [6].

1.4 Завдання для самостійної роботи

1.1. Якщо і , знайти матриці і .

1.2. Знайти добуток матриць:

а) ; ; б) ; .

1.3. Обчислити визначники:

а) ; б) . в) .

1.4. Перевірити матрицю на невиродженість.

1.5. Розв'язати системи лінійних рівнянь за формулами Крамера:

а б) в)

1.6. Знайти координати проекцій точок , і : а) на площину ; б) на площину ; в) на площину ; г) на вісь ; д) на вісь ; е) на вісь .

1.7. Знайти координати точки , що лежить на осі ординат і є рівновіддаленою від точок і .

1.8. .

1.9. Дано координати вершин трикутника : , , . Знайти: а) рівняння прямої, що проходить через висоту, опущену з вершини ; б) рівняння прямої, що проходить через точку паралельно стороні ; в) знайти довжину висоти трикутника, опущеної з вершини .

1.10. Дано прямі і де , – невідоме число. Знайти точку перетину цих прямих.

1.11. Написати рівняння площини, що проходить через точку паралельно векторам і .

1.12. Знайти границі: а) ; б) ;

в) ; г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ; к) .

1.13. Дослідити функції на неперервність:

а) в точці ; б) в точці ;

в) в точці .