Поняття границі функції. Властивості границь

Число називається границею функції при прямуванні до (), якщо для будь-якого, достатньо малого, числа існує такий окіл точки , що при всіх , що задовольняють умові виконується нерівність .

Границю функції при позначають

, (1.3.1)

де може дорівнювати також .

Якщо функція має границю при , то вона єдина.

Число називається правосторонньою (лівосторонньою) границею функції при , якщо для будь-якого, достатньо малого, числа існує такий правосторонній (лівосторонній) окіл точки , що для всіх , що задовольняють умові () виконується нерівність .

Правосторонню границю функції при позначають

(1.3.2)

і лівосторонню границю функції при позначають

. (1.3.3)

Якщо в точці існує границя , тоді правостороння і лівостороння границі функції рівні і дорівнюють , тобто .

Обчислення границь базується на таких основних властивостях границь, які формулюються у вигляді теорем:

Якщо існують границі і , а - постійна, то:

;(1.3.4)

; (1.3.5)

; (1.3.6)

;(1.3.7)

; (1.3.8)

за умови . (1.3.9)

Для функції неперервноїв точці :

; (1.3.10)

. (1.3.11)

Всі елементарні функції неперервні в області їх визначення.

Для будь якого , якщо ;

, якщо .

○ Приклад 1.3.1. Знайти границі функцій :

а) при ; б) при ; в) при і при .

Розв'язання. Згідно властивостей границь:

а)

.

б) .

Зауваження. Так як функції неперервні в точках , ці ж результати можна отримати, підставивши в них граничне значення . Наприклад, і ;

в) і . ●

○ Приклад 1.3.2. Знайти лівосторонні і правосторонні границі функції в точці .

Розв'язання. Лівостороння границя: і правостороння границя . ●