Поняття матриці . Визначники 2-го і 3-го порядків

Матрицею називається сукупність чисел (де та ), розташованих у вигляді прямокутної таблиці, що складається з рядків і стовпців

. (1.1.1)

Числа цієї таблиці називаються елементами матриці, в яких перший індекс позначає номер рядка, а другий – номер стовпця, на перетині яких міститься елемент. Якщо матриця містить рядків і стовпців, то кажуть, що матриця має розмір .

Матриця, отримана з даної матриці заміною її рядків стовпцями з тими ж номерами, називається транспонованою. Транспоновану матрицю позначають символом .

Квадратною матрицею називається матриця, у якої кількість рядків дорівнює кількості стовпців (). Елементи квадратної матриці утворюють головну діагональ матриці, а елементи – побічну діагональ матриці.

Сумою (різницею ) двох матриць і однакового розміру називається матриця такого ж розміру, елементами якої є суми відповідних елементів матриць, тобто

(). (1.1.2)

Добутком матриці на число називається матриця , така що

. (1.1.3)

Матриця називається узгодженою з матрицею , якщо кількість стовпців матриці дорівнює кількості рядків матриці .

Добутком матриці розміру на матрицю розміру називається така матриця розміру , для якої

, (1.1.4)

тобто елемент матриці дорівнює сумі парних добутків елементів – го ряда матриці на відповідні елементи – го стовпця матриці .

○ Приклад 1.1.1. Знайти добуток матриць

і .

Розв'язання. Оскільки у матриці три стовпці, а у матриці три рядки, то можна знайти добуток:

.

Таким чином, добутком буде матриця розміру .

Зауваження. Оскільки у матриці п'ять стовпців, а у матриці чотири рядки, то не можна знайти добуток . Квадратні матриці одного порядку можна перемножувати у будь-якій послідовності. ●

Визначником квадратної матриці другого порядку називається число, яке дорівнює і позначається символом

. (1.1.5)

Формула (1.1.5) є правилом обчислення визначника другого порядку: визначник другого порядку дорівнює різниці добутку елементів, які стоять на головній діагоналі () і добутку елементів, які стоять на побічній діагоналі ().

○ Приклад 1.1.2. Обчислити визначник другого порядку .

Розв'язання. За формулою (1.1.5) знаходимо . ●

Визначником квадратної матриці третього порядку

називається число, яке позначають символом

. (1.1.6)

а) б)

Рис. 1.1.1 - Правило Саррюса

Правило обчислення визначника третього порядку (правило Саррюса): це алгебраічна сума шести потрійних добутків елементів, що стоять в різних рядках і різних стовпцях: із знаком плюс беруться добутки елементів розміщених на головній діагоналі й елементів, розміщених у вершинах двох рівнобоких трикутників, основи яких паралельні головній діагоналі (рис. 1.1.1а); із знаком мінус – добутки елементів побічної діагоналі й елементів, розміщених у вершинах рівнобоких трикутників, основи яких паралельні побічній діагоналі (рис. 1.1.1б).

○ Приклад 1.1.3. Обчислити визначник третього порядку .

Розв'язання. За формулою (1.1.6) знаходимо

. ●