Упорядоченные алгебры

Задача. Опишите все автоморфизмы аддитивной полугруппы натуральных чисел.

Решение:

Рассмотрим произвольный автоморфизм . Поскольку полугруппа циклическая и порождается , то для задания автоморфизма достаточно указать образ порождающего элемента. Предположим . Тогда

.

Таким образом, любой автоморфизм аддитивной полугруппы натуральных чисел имеет вид для некоторого .

Задача. Докажите, что поле наименьшее подполе поля , содержащее .

Решение:

Докажем методом от противного. Предположим, существует некоторое поле такое, что и . Известно . Поскольку - наименьшее из всех числовых полей, то . Таким образом, произвольный элемент поля также является элементом поля , так как . Последнее означает , что противоречит предположению, следовательно, - наименьшее из числовых полей, содержащее .

Задача. Выясните, является ли кольцо , где , упорядоченным.

Решение:

Предположим, что в существует положительный конус . Очевидно, . Тогда, по второй аксиоме положительного конуса, . Последнее противоречит первой аксиоме положительного конуса, следовательно, нельзя упорядочить.

Задача. Докажите, что в упорядоченном кольце квадрат любого не равного нулю элемента положителен.

Решение:

Докажем методом от противного. Предположим, в упорядоченном кольце с положительным конусом существует элемент такой, что . Возможны случаи:

1. .

1.1. . Тогда . Получили противоречие с условием .

1.2. . Тогда . Получили противоречие с условием .

2. .

2.1. . Тогда . Получили противоречие с первой аксиомой положительного конуса .

2.2. . Тогда . Получили противоречие с первой аксиомой положительного конуса.

Таким образом, предположение неверно, и .