Поле комплексных чисел

Задача. Вычислите .

Решение:

Вычисление проведем по действиям:

1) .

2) .

3) .

Задача. Найдите для следующего комплексного числа его тригонометрическую форму а) , б) .

Решение:

а) .

. Зная длину радиус- вектора - и его направление – угол отклонения радиус-вектора от положительного направления оси против часовой стрелки , запишем тригонометрическую форму данного комплексного числа: .

б) .

Задача. Вычислите , используя формулу Муавра.

Решение:

1 шаг. Запишем число в тригонометрической форме .

2 шаг. Применим формулу Муавра:

Задача. Решите уравнение в поле комплексных чисел .

Решение:

. Найдем все корни -ой степени из 16, используя теорему о том, что каждый корень -ой степени из ненулевого комплексного числа есть произведение некоторого известного корня и корня -ой степени из 1.

1 шаг. Выпишем все корни 4-ой степени из 1:

2 шаг. Применим указанную теорему, зная, что 2 – один из корней 4-ой степени из 16:

Задача. Решите уравнение .

Решение:

Пусть . Тогда . Подставим в уравнение:

Последнее эквивалентно системе: .

; ; ; ; ; .

Таким образом, .