Кольцо целых чисел. Упорядоченность кольца целых чисел

Задача. Докажите равенство следующих целых чисел: .

Решение:

Целые числа являются классами эквивалентности фактормножества по отношению ~, заданному следующим образом:

.

Классы эквивалентности равны тогда и только тогда, когда их порождающие элементы лежат в отношении ~. Воспользуемся последним утверждением для доказательства равенства :

^.

Задача. Вычислите: .

Решение:

Поскольку натуральное число n отождествляется с классом эквивалентности вида , имеем:

.

Зная, что , получим

.

Вычислим по действиям:

1) .

2)

Действительно, . Тогда .

Задача. Проверьте, выполняется ли следующее неравенство .

Решение:

.

Рассмотрим разность целых чисел и

Поскольку полученное число не лежит в положительном конусе N множества Z, неравенство ложное.

Действительно,

Тогда ложное неравенство.