Поля рациональных, действительных чисел и их упорядоченность

Задача. Докажите равенство следующих рациональных чисел: .

Решение:

Поскольку , то

.

Зная, что , получим

.

Рациональные числа равны как классы эквивалентности тогда и только тогда, когда их порождающие элементы лежат в отношении , т.е. ad = bc.

^.

Задача. Вычислите .

Решение:

.

Зная, что рациональное число отождествляется с целым числом , получим .

.

Действительно,

.

Задача. Проверьте, выполняется ли следующее неравенство .

Решение:

.

Рассмотрим разность рациональных чисел и .

. Поскольку полученное число лежит в положительной области множества , неравенство верное.

Действительно,

.

Задача. Придумайте последовательность рациональных чисел, сходящуюся к числу а) ; б) .

Решение:

а) Рассмотрим последовательность .

, так как .

а) Рассмотрим последовательность .

.

Задача. Выясните, какие из следующих последовательностей рациональных чисел фундаментальны: а) ; б) .

Решение:

а) . Таким образом, последовательность сходится, а, значит, является фундаментальной.

б)

Последовательность не является фундаментальной, поскольку на бесконечности члены этой последовательности с четными номерами стремятся к , а с нечетными к , а, значит, расстояние между ними будет неограниченно расти.

Задача. Проверьте, равны ли следующие действительные числа:

Решение:

Действительные числа и равны как классы эквивалентности тогда и только тогда, когда их порождающие элементы лежат в отношении ~, т.е. последовательность - нулевая. Последнее условие равносильно следующему: .

действительные числа и не равны.

Задача. Вычислите .

Решение:

Поскольку рациональное число также является действительным, следовательно, совпадает с классом эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел, сходящихся к . Тогда . Таким образом,

.

Задача. Проверьте, выполняется ли следующее неравенство .

Решение:

- положительная последовательность.

Рассмотрим разность действительных чисел и .

Таким образом, неравенство неверно, так как разность есть класс эквивалентности, порожденный отрицательной последовательностью.

Действительно, , но неравенство ложное.