![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Задача. Докажите равенство следующих рациональных чисел: .
Решение:
Поскольку , то
.
Зная, что , получим
.
Рациональные числа равны как классы эквивалентности тогда и только тогда, когда их порождающие элементы лежат в отношении
, т.е. ad = bc.
.
Задача. Вычислите .
Решение:
.
Зная, что рациональное число отождествляется с целым числом
, получим
.
.
Действительно,
.
Задача. Проверьте, выполняется ли следующее неравенство .
Решение:
.
Рассмотрим разность рациональных чисел и
.
. Поскольку полученное число лежит в положительной области
множества
, неравенство верное.
Действительно,
.
Задача. Придумайте последовательность рациональных чисел, сходящуюся к числу а) ; б)
.
Решение:
а) Рассмотрим последовательность .
, так как
.
а) Рассмотрим последовательность .
.
Задача. Выясните, какие из следующих последовательностей рациональных чисел фундаментальны: а) ; б)
.
Решение:
а) . Таким образом, последовательность сходится, а, значит, является фундаментальной.
б)
Последовательность не является фундаментальной, поскольку на бесконечности члены этой последовательности с четными номерами стремятся к , а с нечетными к
, а, значит, расстояние между ними будет неограниченно расти.
Задача. Проверьте, равны ли следующие действительные числа:
Решение:
Действительные числа и
равны как классы эквивалентности тогда и только тогда, когда их порождающие элементы лежат в отношении ~, т.е. последовательность
- нулевая. Последнее условие равносильно следующему:
.
действительные числа
и
не равны.
Задача. Вычислите .
Решение:
Поскольку рациональное число также является действительным, следовательно, совпадает с классом эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел, сходящихся к
. Тогда
. Таким образом,
.
Задача. Проверьте, выполняется ли следующее неравенство .
Решение:
- положительная последовательность.
Рассмотрим разность действительных чисел и
.
Таким образом, неравенство неверно, так как разность есть класс эквивалентности, порожденный отрицательной последовательностью.
Действительно, , но
неравенство ложное.
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 335 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!