|
| Точку  називають точкою максимуму функції  , якщо існує такий окіл цієї точки, що для всіх точок  з цього околу виконується нерівність
 . (9.1)
|
|
| Точку називають точкою мінімуму функції , якщо існує такий окіл цієї точки, що для всіх точок з цього околу виконується нерівність
 . (9.2)
|
|
| Значення функції в точці максимуму або в точці мінімуму називають екстремумом функції.
|
| Зауваження.
| Екстремум в даному випадку носить локальний характер, оскільки розглядається максимальне і мінімальне значення в достатньо малому околі точки .
|
| Теорема 9.2.
| (необхідна умова екстремуму)
Якщо функція  має в точці  екстремум, існують частинні похідні  і  , то вони дорівнюють нулю:
 ,  . (9.3)
|
|
| Точки, в яких частинні похідні дорівнюють нулю або не існують, називають критичними.
|
Функція 
може мати екстремум тільки в своїх критичних точках. Проте не у кожній критичній точці обов’язково буде екстремум. Ці точки потрібно досліджувати за допомогою достатньої ознаки екстремуму.
| Теорема 9.3.
| (достатні умови екстремуму)
Нехай функція має неперервні частинні похідні  ,  ,  ,  ,  і точка є критичною точкою, яка лежить усередині області визначення функції.
Позначимо
 ,  ,  ,
 .
Тоді якщо  , то в точці екстремуму нема.
Якщо  , то для розв’язання питання про наявність екстремуму необхідно подальше дослідження.
Якщо  , то в точці при  функція має максимум, а при  – мінімум.
|
