1)
| Знайдемо частинні похідні першого порядку:
|
2)
| Прирівняємо знайдені частині похідні до нуля і знайдемо критичні точки функції:
Отримуємо три критичні точки: , , .
|
3)
| Знайдемо частині похідні другого порядку:
, ,
Обчислимо їх значення в кожній критичній точці функції:
, , ;
, , ;
, ,
|
4)
| Розрахуємо величину
де , , .
Для точки величина , а для точок і величина . Тому за допомогою достатньої умови екстремуму можна зробити висновок, що в точці екстремум відсутній, а в точках і функція має екстремум, а саме мінімум.
|
5)
| Знайдемо екстремуми функції:
.
|
Контрольні питання зі змістового модуля IV
8.1.
| Дати означення зростаючої, незростаючої, спадаючої, неспадаючої, монотонної на інтервалі функції.
|
8.2.
| Сформулювати необхідні, достатні умови та критерій монотонності.
|
8.3.
| Які точки називають критичними точками першого роду?
|
8.4.
| Назвати послідовність дій при дослідженні функції на монотонність.
|
8.5.
| Дати означення локального максимуму, мінімуму та екстремуму функції однієї змінної.
|
8.6.
| Сформулювати необхідну умову, першу та другу достатні умови екстремуму.
|
8.7.
| Назвати послідовність дій при дослідженні функції на екстремум за допомогою першої та другої похідної.
|
8.8.
| Дати означення опуклої, угнутої, нестрого опуклої та нестрого угнутої на інтервалі функції, точки перегину функції.
|
8.9.
| Які точки називають критичними точками другого роду?
|
8.10.
| Сформулювати критерій та достатні умови опуклості та угнутості.
|
8.11.
| Сформулювати необхідну та достатню умови перегину.
|
8.12.
| Назвати послідовність дій при дослідженні функції на опуклість, угнутість та точки перегину.
|
8.13.
| Дати означення вертикальної, горизонтальної та похилої асимптоти функції.
|
8.14.
| Навести схему повного дослідження функції однієї змінної.
|
9.1.
| Сформулювати правило Лопіталя.
|
9.2.
| Назвати послідовність дій при знаходженні найбільшого та найменшого значень функції на відрізку.
|
9.3.
| Дати означення локального максимуму, мінімуму, екстремуму, критичних точок функції двох змінних.
|
9.4.
| Сформулювати необхідну та достатні умови екстремуму функції двох змінних.
|
9.5.
| Назвати послідовність дій при дослідженні функції двох змінних на екстремум.
|