| 1)
| Знайдемо частинні похідні першого порядку:
 
|
| 2)
| Прирівняємо знайдені частині похідні до нуля і знайдемо критичні точки функції:
Отримуємо три критичні точки:  ,  ,  .
|
| 3)
| Знайдемо частині похідні другого порядку:
 ,  , 
Обчислимо їх значення в кожній критичній точці функції:
 ,  ,  ;
 ,  ,  ;
 ,  , 
|
| 4)
| Розрахуємо величину
де  ,  ,  .
Для точки величина  , а для точок  і  величина  . Тому за допомогою достатньої умови екстремуму можна зробити висновок, що в точці екстремум відсутній, а в точках  і  функція має екстремум, а саме мінімум.
|
| 5)
| Знайдемо екстремуми функції:
 .
|
Контрольні питання зі змістового модуля IV
| 8.1.
| Дати означення зростаючої, незростаючої, спадаючої, неспадаючої, монотонної на інтервалі функції.
|
| 8.2.
| Сформулювати необхідні, достатні умови та критерій монотонності.
|
| 8.3.
| Які точки називають критичними точками першого роду?
|
| 8.4.
| Назвати послідовність дій при дослідженні функції на монотонність.
|
| 8.5.
| Дати означення локального максимуму, мінімуму та екстремуму функції однієї змінної.
|
| 8.6.
| Сформулювати необхідну умову, першу та другу достатні умови екстремуму.
|
| 8.7.
| Назвати послідовність дій при дослідженні функції на екстремум за допомогою першої та другої похідної.
|
| 8.8.
| Дати означення опуклої, угнутої, нестрого опуклої та нестрого угнутої на інтервалі функції, точки перегину функції.
|
| 8.9.
| Які точки називають критичними точками другого роду?
|
| 8.10.
| Сформулювати критерій та достатні умови опуклості та угнутості.
|
| 8.11.
| Сформулювати необхідну та достатню умови перегину.
|
| 8.12.
| Назвати послідовність дій при дослідженні функції на опуклість, угнутість та точки перегину.
|
| 8.13.
| Дати означення вертикальної, горизонтальної та похилої асимптоти функції.
|
| 8.14.
| Навести схему повного дослідження функції однієї змінної.
|
| 9.1.
| Сформулювати правило Лопіталя.
|
| 9.2.
| Назвати послідовність дій при знаходженні найбільшого та найменшого значень функції на відрізку.
|
| 9.3.
| Дати означення локального максимуму, мінімуму, екстремуму, критичних точок функції двох змінних.
|
| 9.4.
| Сформулювати необхідну та достатні умови екстремуму функції двох змінних.
|
| 9.5.
| Назвати послідовність дій при дослідженні функції двох змінних на екстремум.
|
