1)
| Знайти область визначення функції.
|
2)
| Визначити парність, непарність графіка функції. Знайти інтервали знакосталості функції та точки перетину графіка з осями координат.
|
3)
| Знайти точки розриву (якщо вони є) і визначити їх рід.
|
4)
| Визначити асимптоти графіка функції.
|
5)
| Знайти інтервали монотонності та екстремуми функції.
|
6)
| Знайти точки перегину, інтервали опуклості і угнутості функції.
|
7)
| За отриманими даними побудувати графік функції.
|
| Асимптотою графіка функції називають пряму, відстань до якої від точки графіка наближається до нуля, якщо точка прямує до нескінченності уздовж кривої графіка .
|
Інакше кажучи, крива
, яка має некінчену гілку, необмежено наближається до своєї асимптоти, якщо змінна
прямує до нескінченності (рис. 8.5).

Рисунок 8.5 – Асимптота графіка функції 
Асимптоти бувають вертикальні, горизонтальні і похилі.
| Вертикальною асимптотою графіка функції називають пряму , якщо функція визначена в околі точки а (виключаючи, мабуть, саму точку а) і хоч би одна з односторонніх границь (лівостороння) або (правостороння) дорівнює нескінченності, тобто в точці функція має розрив другого роду.
|
Зауваження.
| Для визначення вертикальних асимптот слід знайти ті значення аргументу, в околах яких функція необмежено зростає за абсолютною величиною.
|
| Горизонтальною асимптотою графіка функції називають пряму , якщо існує скінченна границя функції при х, щопрямує до плюс або мінус нескінченності, і ця границя дорівнює , тобто або .
|
Зауваження.
| Якщо скінченною є тільки одна з границь або , то функція має лише лівобічну або правобічну горизонтальну асимптоту.
|
| Похилою асимптотою графіка функції називають пряму , при , щопрямує до плюс або мінус нескінченності, якщо , або .
|
| | |
Теорема 8.13.
| Для того, щоб пряма була похилою асимптотою графіка функції при , щопрямує до плюс або мінус нескінченності, необхідно і достатньо, щоб існували границі:
, (8.1)
. (8.2)
|
Зауваження.
| Границі слід обчислювати окремо для випадків і , проте часто ці границі співпадають.
Якщо хоч би одна з границь (8.1) – (8.2) не існує, то функція не має похилих асимптот.
Горизонтальні асимптоти є частинним випадком похилих асимптот при .
Якщо , то функція може мати похилу асимптоту.
|
Приклад 8.7.
| Знайти асимптоти графіка функції і зобразити їх на графіку.
|