Примеры выполнения расчетно-графической работы К3

(РЕГУЛЯРНАЯ ПРЕЦЕССИЯ)

Пример 1. Дано. Конус 1 с углом 2a = 60° при вершине (рис.4.6.3) катится по неподвижному конусу 2 с углом 2b=120° при вершине без скольжения, обегая последний 120 раз в минуту, приэтом вершина О конуса 1 остается неподвижной, а центр С его основания движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости. Высота конуса 1 ОС= 10 см.

Определить. 1. Угол нутации q, угловые скорости нутации , прецессии , ротации и мгновенную угловую скорость .

2. Угловое ускорение конуса .

3. Скорости точек А, В, СÞ , , .

4. Ускорения точек А, В, С Þ (найти осестремительное Þ и вращательное Þ ускорения точки С).

Решение. Введем неподвижную систему координат OXYZ с началом в точке О конуса 1 (рис.4.3.3).

Рис.4.3.3

Поскольку конус 1 катится по неподвижному конусу 2 без скольжения, то

скорости всех его точек, лежащих на образующей ОА, равны в данный мо-мент времени нулю. Следовательно, мгновенная ось вращения конуса 1 совпадает с образующей ОА.

·1.Угол нутации , поскольку с конца оси нутации ОЕ поворот от оси прецессии OY к оси ротации Oy кажется по часовой стрелке;

·2. Величина угловой скорости прецессии .

Направление вектора определим в зависимости от задания движения конуса 1, в данном случае вращение конуса 1 вокруг оси прецессии происходит по часовой стрелке, поэтому ¯­ (оси прецессии).

·3. Векторное равенство , в котором линии действия всех его составляющих известны, позволяет определить как направление векторов всех составляющих угловых скоростей, так и их величины а именно: линией действия вектора является мгновенная ось вращения ; линией действия вектора ¯­ - ось прецессии OY, линией действия вектора - ось ротации Оy (рис.4.3.3.1). Таким образом, величина мгновенной угловой скорости , а величина угловой скорости ротации

·4. Угловое ускорение в случае регулярной прецессии определяется векторным произведением , т.е. вектор ­­ , так какс конца оси OZ=ОЕ поворот от вектора к вектору кажется против хода часовой стрелки. Величина углового ускорения

рад/с² .

· 5. Скорости точек конуса 1 (рис.4.3.4)

·5.1) точки АÞ , так как в данный момент времени эта точка принадлежит мгновенной оси вращения конуса 1;

·5.2) точки В Þ , где ,

и вектор ­­ .

Рис.4.3.4

·5.3) точки С I Þ Т раекторией точки С, с одной стороны, является окружность, плоскость которой перпендикулярна мгновенной оси вращения и центр которой лежит на , с другой стороны, – окружность, плоскость которой перпендикулярна оси прецессии ОY и центр которой лежит на этой оси. Поэтому

, (I)

где – кратчайшее расстояние от точки С до мгновенной оси ; =

. Вектор , так как направление вектора совпадает с направлением мгновенной оси = ОА ивектор направлен таким образом, чтобы с конца этой оси = вращение конуса 1 казалось против хода часовой стрелки (рис.4.3 (.4).

II Þ С другой стороны, поскольку точка С- центр основания конуса 1 движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, то

, (II)

где – кратчайшее расстояние от точки С до оси ОY,равное

,

·6. Ускорение какой-либо точки конуса 1 определим как геометрическую сумму осестремительного и вращательного ускорений (рис.4.3.5).

Рис.4.3.5

· 6.1) точки А: ; так как ,

где; м.

Вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , т.е. перпендикулярно ОА в сторону .

Таким образом, ;

· 6.2) точки В: ;

;

Вектор направлен от точки B радиусу к мгновенной оси вращения конуса 1 (рис.4.3.5).

, где м.

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , принадлежит плоскости ОXY, т.е. направлен перпендикулярно ОB в сторону .

Полное ускорение точки B найдем как диагональ прямоугольника, построенного на векторах :

· 6.3) точки С: I Þ ;

.

Вектор направлен от точки С по радиусу к мгновенной оси вращения кoнуса 1. Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , принадлежит плоскости ОXY, т.е. направлен перпендику-лярно ОС в сторону (рис.4.3.5);

IIÞ ;

Ответ. 1). q =- p/2; =0; 1/с; 1/с; 1/с.

2) 1/с².

3). .

4) ;

; .

Пример 2 выполнения расчетно-графической работы К3

Дано. Конус 1 с углом 2 a =60° при вершине (рис. 4.3.6) катится без скольжения по неподвижному конусу 2 с углом 2 b =120° при вершине, приэтом вершина О конуса 1 остается неподвижной, а центр С его основания движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, с постоянной скоростью , причем =3 м/с, ОА=ОВ= 2м.

Определить. 1. Угол нутации, угловую скорость нутации , прецессии , ротации , мгновенную угловую скорость . 2. Угловое ускорение конуса 3. Скорости точек А и В , 4. Ускорения точек А, В, С , , , а также (найти осестремительное и вращательное ускорения точки С).

Рис. 4.3.6

Решение. Введем неподвижную систему координат OXYZ с началом в точке О конуса 1. Поскольку конус 1 катится по неподвижному конусу 2 без скольжения, то скорости всех его точек, лежащих на образующей ОА, равны в данный момент времени нулю. Следовательно, мгновенная ось вращения конуса 1 совпадает с образующей ОА.

Þ2.1. Угол нутации , поскольку с конца оси нутации ОЕ поворот от оси прецессии OY к оси ротации Oy кажется против часовой стрелки; .

Þ2. 2. Траекторией точки С, с одной стороны, является окружность, плоскость которой перпендикулярна мгновенной оси вращения и центр которой лежит на , с другой стороны, – окружность, плоскость которой перпендикулярна оси прецессии ОY и центр которой лежит на этой оси.

Установив положение мгновенной оси вращения, найдем модуль мгновенной угловой скорости конуса. Поскольку

(I)

где – кратчайшее расстояние от точки С до мгновенной оси ; , то

Þ 3, . Учитывая заданное направление вектора , , отложим от точки О вдоль мгновенной оси = ОА вектор так, чтобы видеть с его конца вращение конуса вокруг этой оси в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки (рис. 4.3.6).

С другой стороны, поскольку центр С основания конуса 1 движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, то

(II)

где – кратчайшее расстояние от точки С до оси ОY,равное .

Отсюда находим величину угловой скорости прецессии :

.

Направление вектора определим в зависимости от задания движения конуса 1, в данном случае вращение конуса 1 вокруг оси прецессии происходит по часовой стрелке, поэтому ¯­ (оси прецессии).

Þ2. 3. Векторное равенство , в котором линии действия всех его составляющих известны, позволяет определить как направление векторов всех составляющих угловых скоростей, так и величину угловой скорости ротации, а именно: ; линией действия вектора является мгновенная ось вращения ; линией действия вектора ¯­ - ось прецессии OY, линией действия вектора - ось ротации Оy (рис. 4.6.6.). Таким образом, величина угловой скорости ротации

.

Þ2.4. Угловое ускорение в случае регулярной прецессии определяется векторным произведением , т.е. вектор ¯­ , так какс конца оси OZ поворот от вектора к вектору кажется по ходу часовой стрелки; величина углового ускорения

рад/с² .

Þ2. 5. Скорости точек конуса 1:

Þ2. 5.1) точки А , так как в данный момент времени эта точка принадлежит мгновенной оси вращения конуса 1;

Þ2. 5.2) точки В , где , и вектор ¯­ .

Þ2. 6. Ускорение какой-либо точки конуса 1 определим как геометрическую сумму осестремительного и вращательного ускорений.

Þ2. 6.1) точки А: ; ; ;

; , где ; м.

Вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , т.е. перпендикулярно ОА в сторону .

Таким образом, ; .

Þ2. 6.2) точки В: ; ; .

Вектор направлен от точки B к мгновенной оси вращения конуса 1 (рис. 4 3.6). Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , принадлежит плоскости ОXY, т.е. направлен перпендикулярно ОB в сторону . Величины этих векторов: ; , где м.

Полное ускорение точки B найдем как диагональ прямоугольника, построенного на векторах :

Þ2. 6.3) точки С:

I) ; ; ;

.

Вектор направлен от точки С по радиусу к мгновенной оси вращения кoнуса 1.

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , принадлежит плоскости ОXY, т.е. направлен перпендикулярно ОС в сторону (рис. 4.3.6);

II) ;

Ответ. 1. Угол нутации q = p/2; угловая скорость нутации ; прецессии 1/с; ротации 1/с; мгновенная угловая скорость 1/с. 2. Угловое ускорение конуса 1/с². 3. Скорости точек А и В м/с.
4.Ускорения точек А, В, С м/c²; осестремительное ускорение точки С м/с²; вращательное ускорение точки С м/с².