Углы Эйлера

В тех случаях, когда угловая скорость вращения твердого тела в одном направлении значительно больше, чем в двух других (генераторы, моторы, турбины, гироскопы, снаряды), для определения положения тела в качестве трех независимых параметров выбирают три угла Эйлера: угол прецессии y (t), угол нутации q (t) и угол ротации (собственного вращения) j (t). Их названия заимствованы из астрономии.

Чтобы задать эти углы, рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки О. Пусть даны некоторая система отсчета и связанная с ней неподвижная система координат ОXYZ, относительно которой движется твердое тело, и связанная с твердым телом система координат Оxyz, которая движется относительно первой (рис.4.6 … 4.8). Это означает, что первая и вторая системы координат имеют общее начало O. Так, рассматривая кинематику частей лафета орудия, за начало выбирают точку О -пересечения оси вращения боевого штыря с горизонтальной плоскостью, перпендикулярной плоскости симметрии орудия, на высоте оси цапф до выстрела.

Ось ОX – направляемгоризонтально, ее ориентацию целесообразно связывать с направлением полета снаряда, когда плоскость стрельбы совпадает с плоскостью симметрии орудия, т.е. этопродольная ось в плоскости симметрии (раке

Рис.4.6 ты, орудия, танка при нулевом угле возвышения); ось OY- будет ориентировать вертикально положительное направление вверх. Ось OZ –вправо для наблюдателя, смотрящего вдоль оси ОX. (рис.4.6). Углы, образуемые осями Оxyz с осями ОXYZ, изменяются, т.е. система Оxyz поворачивается вместе с твердым телом вокруг неподвижной точки О (рис. 4.6).

Плоскость ОXZ (заштрихованный овал) пересекает плоскость Оxz (белый овал) по некоторой (рис.4.7) прямой Оz₁ =Оz₂ = OE, образующей угол с неподвижной осью ОZ, и угол с подвижной осью Оz, которая называется «линией узлов» ОЕ с единичным ортом . Кроме того, плоскость Оxz образует с плоскостью ОXZ угол q, равный углу между осями ОY и Оy.

Неподвижная ось ОY,вокруг которойповорачивается твердое тело на угол прецессии y, называется осью прецессии с единичным ортом . Изменение угла Рис.4.7 нутации q сопровождается

вращением твердого тела вокруг линии узлов Оz ₂ называемой осью нутации с единичным ортом (рис.4.7; 4.8).

Наконец, угол ротации (собственного вращения) j характеризует вращение тела вокруг оси Oy = Oy ₂, называемой осью ротации (собственного вращения) с единичным ортом .

На рис (4.6 - 4.8) все углы положительные, т.е. против хода часовой стрелки, если смотреть на поворот тела с положительных направлений осей вращения OY, OE и Oy.

Движение твердого тела в любой момент времени полностью определяется положением подвижной связанной с твердым телом системы координат Оxyz относительно неподвижной системы координат ОXYZ, т.е. заданием

Рис.4.8

кинематических уравнений вращения тела вокруг неподвижной точки О: угла прецессии , угланутации и угларотации (собственного вращении).