Пример 3 выполнения расчетно-графической работы К3

Дано. Конус 1 с углом 2a при вершине катится без скольжения по неподвижному конусу 2 с углом 2b при вершине в направлении, указанном стрелкой (рис.4.3.7). Высота конуса OC = h. Вращательное ускорение центра С основания конуса = 0,48 м/с², h= 0,12 м, 2α = 120°, 2β = 60°.

Определить. 1. Угол нутации q, угловую скорость нутации , прецессии , ротации и мгновенную угловую скорость . 2. Угловое ускорение конуса . 3. Скорости точек А, В, С . 4. Ускорения точек А, В, С .

Решение. Введем неподвижную систему координат OXYZ с началом в точке О конуса 1. Поскольку конус 1 катится по неподвижному конусу 2 без скольжения, то скорости всех его точек, лежащих на образующей ОА, равны в данный момент времени нулю. Следовательно, мгновенная ось вращения кону са 1 совпадает с образующей ОА.

*3. 1.Угол нутации: , так как с конца оси нутации ОZ=OE поворот от оси прецессии OY к оси ро-тации Оy кажется про-
тив часовой стрелки, .

*3. 2. Направление вектора определяется в зависимости от задания движения конуса 1 вокруг оси прецессии OY, в данном случае – против часовой стрелки, поэтому ↑↑ .

*3. 3. Векторное равенство , в котором линии.действия всех его составляющих известны, позволяет определить как направление векторов всех составляющих угловых скоростей, так и величины угловых ско Рис.4.3.7 ростей прецессии и ротации через мгновенную угловую скорость вращения . Так как линия действия вектора – ось прецессии OY,причем ↑↑ ,линией действия вектора является мгновенная ось вращения ; линией действиявектора – ось ротации Оy, то из векторного равенства следует, что ↑↑ , а ↑↑ , а величины угловых скоростей прецессии и ротации равны 1/с = const, 1/с = const.

*3. 4.Угловое ускорение в случае регулярной прецессии определяется векторным произведением , т.е. вектор ­­ , так какс конца оси OZ поворот вектора к вектору кажется против хода часовой стрелки; величина углового ускорения 1/с² .

С другой стороны, по заданному , где , находим величину углового ускорения . Направление вектора указано в условии. Вектор лежит в плоскости (ВОА), перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , принадлежит плоскости ОXY, т.е. направлен перпендикулярно ОС в сторону .

Таким образом, используя полученные равенства , , , находим величины 1/с, 1/с, 1/с.

*3. 5. Скорости точек конуса 1:

*3. 5.1 ) точки А: , так как в данный момент времени эта точка принадлежит мгновенной оси вращения конуса 1;

*3. 5.2) точки В: , где (см. рис. 4.4), и вектор ­­ ;

*3. 5.3) точки С. Траекторией точки С, с одной стороны, является окружность, плоскость которой перпендикулярна мгновенной оси вращения и центр которой лежит на , с другой стороны, – окружность, плоскость которой перпендикулярна оси прецессии ОY и центр которой лежит на этой оси. Поэтому скорость точки С конуса 1 можно определить по двум формулам:

I) , где – кратчайшее расстояние от точки С до мгновенной оси вращения , ; , ­­ .

С другой стороны, поскольку центр С основания конуса 1 движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, то

II) , где – кратчайшее расстояние от точки С до оси ОY, ; = .

*3.6. Ускорение какой-либо точки конуса 1 определим как геометрическую сумму осестремительного и вращательного ускорений.

*3.6. 1) точки А:

а) ; ; ;

так как ;

;

.

Вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , т.е. перпендикулярно ОА в сторону . Таким образом, м/с².

*3.6. 2 ) точки В: ; ; .

Вектор направлен от точки B по к мгновенной оси вращения конуса 1. Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , принадлежит плоскости ОXY, т.е. направлен перпендикулярно ОB в сторону .

.

Полное ускорение точки B найдем через его проекции на оси дополнительной системы координат , лежащей в плоскости (BOA), как

:

м/с²;

м/с².

*3.6. 3) точки С:

I) ; ; ;

м/с²;

.

Вектор направлен от точки С по к мгновенной оси вращения конуса. Направление вектора указано в условии. Вектор направлен перпендикулярно ОС в сторону ;

II) ;

Причем, величину вектора можно получить как = =0,48∙3=1,44 м/с².

Ответ. 1. Угол нутации q = p/2; угловая скорость нутации ; угловые скорости прецессии 1/с; ротации рад/с; мгновенная угловая скорость = 4 рад/с.

2. Угловое ускорение конуса рад/с².

3. Скорости точек А, В, С: =0; ; м/с.

4. Ускорения точек А, В, С: = 0,96 м/с²; = 4,4 м/с²;

= 1,44 м/с².

5. Осестремительное ускорение точки С = 0,96 м/с².