 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Формулы преобразования координат. Поворотные матрицы
|
|
Для любой точки М тела с координатами x, y, z в подвижной системе координат Оxyz, жестко связанной с ним, и с ее же координатами X, Y, Z в неподвижной системе координат ОXYZ в соответствии с (4.10), взаимосвязь проекций вектора точки 
на оси двух систем координат
и 
имеет вид 
(4.14)
или в матричном виде
или 
, (4.15
где 
- матрица, транспонированная к матрице направляющих косинусов 
, задающей преобразование поворота от осей неподвижной системы OXYZ (с базисом )к осям подвижной системы Оxyz (с базисом ), неизменно связанной с телом. Транспонированная матрица получается путем замены в матрице строк на столбцы. Выражение находим из формул преобразований координат при переходе от одной системы к другой:
, (4.16)
Рис.4.9
из которых две системы 
и 
- промежуточные.
*1- Переход от осей системы OXYZ к осям системы 
осуществляется поворотом на угол прецессии 
вокруг второй из координатных осей (неподвижной) 
– оси прецессии системы , причем 
.
а б в
Рис. 4.10
*2- Переход от осей системы 
к осям системы 
осуществляется поворотом на уголнутацииθ вокруг третьей из координатных осей оси 
- оси нутации системы ,причем 
.
*3- Переход от осей системы к осям системы осуществляется поворотом на угол 
- ротации (собственного вращения) вокруг второй из координатных осей - оси системы , причем 
Формулы преобразования координат получаем, рассмотрев переход от системы ОXYZ ([ X ]н) к системе Оxyz ([ x ]п), выполненный с помощью трех поворотов:
·*1- Первый поворот системы ОXYZ вокруг второй из координатных осей ОY - оси прецессии на угол прецессии , в результате чего получим систему , причем (рис. 4.9;4.10.а; 4.11.1; 4.12.1).
·*1. 1) Формулы преобразования координат от ОXYZ к связаны соотношениями (рис.4.11.1)
X = x 1 cos y + 0 + z 1 sin y,
Y = 0 + y 1 + 0, (4.17)
Z = - x 1 sin y + 0 + z 1 cos y.
Рис.4.11.1
·* 1.2) Формулы преобразования координат от ОXYZ к в матричной
форме (рис.4.12.1):
или 
, (4.18)
где поворотная матрица 
(4.19)
описывает поворот вокруг второй из координатных осей – неподвижной оси ОY на угол прецессии ψ. Следует отметить, что по структуре поворотная матрица 
совершенно аналогична матрице - 
(4.9),
Рис.4.12.1
·*2- Второй поворот системы вокруг третьей из координатных осей -оси нутации 
на угол нутации 
, т.е. ® 
, при
этом (рис. 4.11.2; 4.12.2).
·* 2.1) Формулы преобразования координат от к 
, как видно из рис. 4.11.2,связаны следующими соотношениями:
x 1 = x 2 cos q - y 2 sin q + 0,
y 1 = x 2 sin q + y 2 cos q + 0, (4.20)
z 1 = 0 + 0 + z 2,
Рис.4.11.2
·* 2.2)Формулы преобразования координат от к в матричной форме (рис.4.12.2):
Рис. 4.12.2
или 
, (4.21)
где поворотная матрица 
(4.22)
описывает поворот вокруг третьей из координатных осей – оси на угол нутации 
, при этом 
. Следует отметить, что по структуре поворотная матрица 
совершенно аналогична матрице 
(4.3).
·*3- Третий поворот системы вокруг опять второй из координатных осей - оси ротации 
на угол ротации (собственного вращения), т.е. ® , при этом 
(рис. 4.10,в; 4.12.3).
·* 3.1) Формулы преобразования координат от к , как видно из рис. 4.10, в, связаны следующими соотношениями:
(4.23)
·* 3.1) Формулы преобразования координат от к в матричной форме: (рис.4.8, 4.12.3*)
Рис.4.12.3*
или 
, (4.24)
где поворотная матрица 
(4.25)
описывает поворот вокруг опять второй из координатных осей – оси ротации на угол ротации (собственного вращения), т.е. ® , при этом (рис. 4.10,в; 4.12.3).. Следует отметить, что по структуре поворотная матрица (4.25) аналогична матрице - (4.19).
Подставляя в (4.8) соотношение (4.21), получаем промежуточную формулу преобразования координат, которая может понадобиться в дальнейшем
, (4.26)
где промежуточная поворотная матрица 
находится как произведение двух матриц поворота,
(4.27)
Подставляя в (4.8) формулы (4.21) и (4.24), получаем
(4.28)
Сравнивая выражения (4.15) и (4.2), находим, что искомая поворотная матрица 
является произведением трех матриц поворота (4.19), (4.22), (4.25):
(4.29)
или
При заданном законе сферического движения выражения (4.15) и (4.29) позволяют определить искомый закон движения и траекторию выбранной точки твердого тела.
4.2.2. Мгновенная угловая скорость и угловое ускорение.
Кинематические уравнения Эйлера
Твердое тело с одной неподвижной точкой в общем случае участвует одновременно в трех вращениях, векторы угловых скоростей которых с использованием углов Эйлера имеют вид:
– вектор угловой скорости прецессии;
– вектор угловой скорости нутации;
– вектор угловой скорости ротации (собственного вращения).
Здесь 
– единичные орты осей вращения OY, OE, Oy соответственно (рис.4.8; 4.12.3). Поскольку названные оси пересекаются в точке О,тоабсолютное движение тела в каждый момент времени есть вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку пересечения вышеназванных осей с мгновенной угловой скоростью 
, равной геометрической сумме векторов угловых скоростей составляющих:
. (4.30)
Ось, совпадающая с вектором 
, является мгновенной осью вращения 
твердого тела вокруг неподвижной точки О. Мгновенная ось вращения представляет собой геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент времени равны нулю.
Рис. 4.13 Мгновенная угловая скорость меняется с течением
времени как по величине, так и по направлению. Это изменение определяетсяпроизводной по времени от угловой скорости и называется мгновенным угловым ускорением 
тела:
(4.31)
или 
, где – составляющая , направленная вдоль мгновенной оси вращения и характеризующая изменение по величине; 
– составляющая , перпендикулярная вектору и характеризующая изменение по направлению
(рис.4.14) 
. Вектор мгновенного углового ускорения будем откладывать от неподвижной точки О тела
Алгебраические величины проекций вектоРис.4.14. ра (4.30) на оси подвижной системы коор
динат (рис.4.8=4.12.3), единичные орты которой 
соответственно,
. (4.32)
Согласно (4.30),
.
Разложение единичного вектора по базису 
, как следует из формул (4.15) и (4.25), таково:
. (4.33)
Единичный вектор 
как следует из (4.23) и (4.25), можно представить в виде
(4.34)
Подставляя (4.33), (4.34) в соотношение (4.30), получаем
(4.35)
Таким образом, искомые проекции вектора угловой скорости на оси подвижной (связанной с телом) системы координат будут равны
или 
4.36)
Полученные соотношения носят название кинематических уравнений Эйлера. Они устанавливают связь между проекциями вектора угловой скорости тела , углами Эйлера 
и их первыми производными по времени.
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 945 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
