Определение положения мгновенного центра скоростей

·1. Положение МЦС плоской фигуры в некоторых случаях, исходя из

физических соображений, удается сразу определить, например, когда рассматривается качение без скольжения плоской фигуры по неподвижной плоской ли

нии (рис. 3.6.1).

a) б)

Рис. 3.6.1

Например, качение без скольжения колеса по неподвижной прямой (рис. 3.6.1,а) или колеса по другому неподвижному колесу (рис. 3.6.1,б).

·2. Положение МЦС может быть установлено с помощью геометрических построений. Если известны линии действия скоростей двух точек А и В фигуры (рис.3.6.2) и они не параллельны, то МЦС находится в точке Рис.3.6.2

пересечения перпендикуляров к линиям действия скоростей двух точек А и В , восстановленных из этих точек.

·3. Если точки А и В фигуры лежат на общем перпендикуляре и линии действия их скоростей параллельны и (рис.3.6.3,а), или (рис.3.6.3,б), но по модулю не равны, то МЦС находится в точке пересечения перпендикуляра с прямой, Рис.3.6.3

соединяющей концы векторов скоростей этих точек.

· 4.Если скорости двух точек А и В плоской фигуры параллельны, направлены в однусторону и равны между собой (рис.3.6.4), то МЦС лежит в бесконечности, а угловая скорость плоской фигуры равна Рис.3.6.4 нулю, так как , то .

Такое движение тела называют случаем м гновенного-поступательного движения. При этом скорости всех точек плоской фигуры одинаковы как по направлению, так и по модулю. Однако ускорения точек будут различны.

Пример 3.1 Колесо радиуса R (см. рис. 3.7) катится без скольжения по

неподвижной прямой; скорость центра . Определить скорости точек A и B обода колеса методом мгновенного центра скоростей МЦС.

Решение. Поскольку колесо катится без скольжения, то точка находится в точке контакта обода с неподвижной прямой. Тогда, в соответствии с (3.7), угловая скорость колеса , а направление его

вращения определяется направлением вектора относительно оси z’ (,т.е. по ходу часовой стрелки). Поскольку мгновенные радиусы В С _мцс = и АС_мцс = 2 R, то Векторы скоростей точек B и A обода колеса перпендикулярны мгновенным радиусам и направлены в сторону вращения колеса вокруг z’.

Рис.3.7

3. 3.Ускорения точек тела при плоском движении методом полюса

Самый рациональный способ при определении ускорений точек плоской фигуры ¾метод полюса. В гл..3.2.1 было получено соотношение (3.4) между скоростями двух точек плоской фигуры методом полюса (за полюс принята точка P)

Продифференцировав его по времени, получим

Рис.3.8

Здесь , ¾ ускорения точек P и M относительно неподвижной системы координат;

¾ ускорение точки M при вращательном движении плоской фигуры вокруг подвижной оси z’, проходящей через полюс P ¾ P z’ перпендикулярно плоскости плоской фигуры, или просто вокруг полюса P.

Таким образом,

, (3.8)

т.е. ускорение какой-либо точки плоской фигуры при плоском движении равно векторной сумме ускорения полюса, построенного при рассматриваемой точке, и ускорения этой точки при вращательном движении плоской фигуры вокруг оси z’, проходящей через полюс , перпендикулярно плоскости плоской фигуры.

Ускорение точки при вращательном движении плоской фигуры вокруг оси P z’, как и в случае вращения тела вокруг неподвижной оси, состоит из вращательной º касательной (тангенциальной)

(3.9)

и осестремительной º нормальной составляющих:

, (3.10)

модули которых

(3.11)

Вращательное º касательное ускорение направлено перпендикулярно отрезку PM всторону (рис.3.8).

Осестремительное º нормальное направлено от точки M по радиусу PM к оси вращения . Таким образом,

= =

(3.12)

Обозначив угол между ускорением и отрезком PM через , найдем (3.13)

Пример 3.2. Центр колеса радиуса R, катящегося без скольжения по неподвижной прямой (рис.3.9) движется в данный момент времени, имея ускорение . Угловая скорость и угловое ускорение колеса , .

Определить: у скорения точек А, В и , расположенных на концах вертикального и горизонтального диаметров обода колеса.

Рис.3.9

Решение. За полюс примем точку С, ускорение которой задано. Тогда,

согласно (3.8 -3.10), ускорение точки А

, где = = ;

= = .

Ускорение перпендикулярно отрезку СА и направлено в сторону углового ускорения ; а ускорение направлено от точки А к полюсу С. Составляющие искомого вектора показаны на (рис.3.9). Его модуль

Аналогично рассуждая, находим ускорения для точек В и

соответственно:

= ; = ;

и

= ; = ;

Таким образом, ускорение точки колеса при его качении по неподвижному основанию не может быть равно нулю, поскольку осе-стремительная º нормальная составляющая ускорения = имеет не нулевое значение.

Пример 3.3. Определить угловое ускорение линейки АВ эллипсографа (рис.3.10), если заданы ее угловая скорость - и ускорение шарнира С кривошипа ОС - . Заданы также размеры звеньев и положение механизма в рассматриваемый момент времени.

Решение. За полюс линейки АВ примем шарнир С, ускорение которого задано. Тогда, согласно (3.8 - 3.10),

. (3.14 *)

В этом векторном уравнении векторы и известны по модулю и направлению:( задано условием задачи, а направлен от точки В к полюсу С). Что касается векторов и , величины их не известны, известны лишь их линии действия: (см. рис.3.10), а именно:

Рис.3.10

( перпендикулярен ВС, а линия действия - ось OY). Такое векторное уравнение (3,14 *) решается методом проецирования на такие оси координат, на-пример, ·1®на ось ОХ, перпендикулярную неизвестному вектору , тогда находим величину вектора , которая должна быть положительной, т.е. > 0,

·2 ® на ось OY, находим величину вектора , которая должна быть положительной, т.е. >0, тогда направление вектора выбрано верно.

·1Þ Проекция векторное уравнения (3,14 *) на ось OX, полагая, что угловое ускорение линейки , т.е. против хода часовой стрелки,

В этом уравнении в силу принятого предварительно направления проекция вектора на ось Ox будет отрицательная. Отсюда находим или

.

Направление углового ускорения линейки эллипсографа определяется знаком . Если > 0, то направление на рис.3.10 выбрано правильно, т.е. . При < 0, наоборот, .

На рис.3.10 и .= 0, так как а и ОС = ВС. Таким образом = 0 и = = 0

·2® Проекция векторное уравнения (3,14 *) на осьOY, полагая, что угловое ускорение линейки , т.е. против хода часовой стрелки,

Из последнего уравнения находим величину вектора , которая как видно из последнего уравнения положительная, т.е. >0, т.е. направление вектора выбрано верно. Но в связи с выше названными комментариями к п. ·1, величина =0.

3.4. Расчетно-графическая работа К2