Вказівки до виконання контрольної роботи ( РГР )

1.1.1 Невизначений інтеграл.

Функція називається первісною для функції на проміжку , якщо диференційована на і справджується рівність для усіх . Існує множина первісних для функції , які відрізняються тільки сталою: . Цю множину первісних називають невизначеним інтегралом функції і записують , де – підінтегральна функція.

Властивості невизначеного інтеграла

а)

б)

в)

г) , де const

д)

е)

Таблиця невизначених інтегралів

			;
2a
2б
4а

Зауваження: таблицею інтегралів можна користуватись у випадку, коли аргумент підінтегральної функції і вираз під знаком диференціала однакові.

Методи інтегрування

а) метод безпосереднього інтегрування. Обчислення інтегралів за допомогою властивостей невизначеного інтеграла та таблиці невизначених інтегралів.

Треба пам’ятати, що , де .

Задача 1. Знайти інтеграли

1)

;

2) . Можемо застосувати формулу 2б, де , і врахуємо лінійність аргументу u. За властивістю е) коефіцієнт лінійності дорівнює 3. Матимемо: ;

3) . Аналогічно прикладу 2), коефіцієнт лінійності дорівнює 7. Застосовуємо формулу 4а. Матимемо:

;

4)

.

При знаходженні інтеграла врахували, що і

б) метод заміни змінної (метод підстановки). Згідно цього метода вводять нову змінну інтегрування. Нехай – первісна функції на проміжку . Функція визначена та диференційована на проміжку і . Тоді справедлива формула . Зручним є і такий запис: Підстановку підбирають так, щоб мати після перетворення табличний інтеграл.

Задача 2. Знайти інтеграли

1)

Так як , то зробимо заміну змінної . Матимемо:

. Перевіримо отриманий результат:

.

2) =

.

3)

в) метод інтегрування частинами. Формула інтегрування частинами має вигляд: . До інтегралів, які обчислюються методом інтегрування частинами відносяться:

1) , , , , де – многочлен -го степеня, – дійсне число. В цих інтегралах через позначаємо , а через – один з виразів

2) , , , , , , де – многочлен -го степеня ( може дорівнювати нулю), – дійсні числа. В цих інтегралах через позначаємо один з виразів , , , , , , а через – .

Існують інші типи інтегралів для знаходження яких застосовують метод інтегрування частинами.

Зауваження. При застосуванні метода інтегрування частинами треба підінтегральний вираз розбити на два множники: u і , а саме: 1) треба віднести до ; 2) повинен бути таким, щоб інтегруванням легко знайти ; 3) Інколи доводиться формулу інтегрування частинами застосовувати декілька разів.

Задача 3. Знайти інтеграли

1)

;

2)

3)

Розв’яжемо отримане рівняння відносно шуканого інтеграла

г) інтегрування квадратних тричленів. До цих інтегралів відносяться:

1) , 2) , 3) ,

4) . Для інтегралів 1), 2) типів необхідно виділити повний квадрат у квадратному тричлені:

. Заміна приводить інтеграл до табличного: для інтеграла 1) типу маємо табличний інтеграл 13 або 14, для інтеграла 2) типу маємо табличний інтеграл 15 або 16. Для інтегралів 3), 4) типів необхідно у чисельнику виділити похідну квадратного тричлена, який знаходиться у знаменнику, і чисельник почленно поділити на знаменник. Отримаємо два інтеграли, перший з яких знаходимо по таблиці інтегралів за формулою 17 (для інтеграла 3) типу) або 18 (для інтеграла 4) типу). Другий інтеграл є інтегралом 1) або 2) типу.

Задача 4. Знайти інтеграл

д) інтегрування дробово-раціональних функцій. До цих функцій

відносяться дроби . Якщо , то дріб є неправильний. Треба виділити цілу частину, поділивши чисельник на знаменник: , де – частка (ціла частина), – правильний дріб (степінь многочлена менший за ). Далі, якщо правильний дріб не є простий, необхідно знаменник розкласти на множники (множниками можуть бути многочлени виду: , з дискримінантом квадратного тричлена меншим нуля), потім правильний дріб – на прості дроби. Простих дробів буде стільки, скільки множників у знаменнику, враховуючи кратність кожного. У чисельниках простих дробів записують многочлени в загальному вигляді, не враховуючи кратність многочленів у знаменнику. Коефіцієнти чисельників знаходимо методом невизначених коефіцієнтів або комбінованим методом. При інтегруванні правильних простих дробів можемо мати такі інтеграли:

;

;

;

– розглянуті в інтегруванні квадратних тричленів;

, де . При цьому многочлен немає дійсних коренів, тобто ;

можна знайти використовуючи рекурентну формулу:

Задача 5. Знайти інтеграли

1)

;

2)

=

+

е) інтегрування тригонометричних функцій. Інтеграли виду за допомогою універсальної підстановки приводяться до інтегралів від раціональних дробів. В деяких випадках застосовують інші підстановки, які спрощують знаходження інтегралів. Розглянемо ці випадки.

1) у випадку коли функція непарна відносно : , робимо заміну , а коли вона непарна відносно : , то робимо заміну .

2) якщо функція парна відносно і : , то робимо заміну

3) знаходиться підстановкою , якщо – ціле додатне непарне число, а – ціле додатне парне число, або підстановкою , якщо – ціле додатне непарне число, а – ціле додатне парне число. У випадку, коли і – цілі додатні парні числа, застосовують формули зниження степеня , та . Якщо і – цілі парні числа, але хоч одне з них від’ємне, або і – цілі непарні і від’ємні числа, то застосовують підстановку .

4) за допомогою формул:

;

;

зводяться до табличних.

Задача 6. Знайти інтеграли.

1)

2)

3)

4)

=

є) інтегрування ірраціональних виразів. Розглянемо деякі з них.

1) , де , – цілі додатні числа. Робимо заміну , де є спільним знаменником дробів . Ця заміна приводить до інтегралу від раціональної функції аргументу .

2) , де , – цілі додатні числа, , , , – дійсні числа. Заміна: , де є спільним знаменником дробів . Ця заміна приводить до інтегралу від раціональної функції аргументу .

3) В інтегралах, що мають вирази: 3а) , 3б)

3в) можна робити наступні заміни змінної:

3а)

3б)

3в)

Задача 7. Знайти інтеграл.

1.1.2 Визначений інтеграл.

Визначений інтеграл де функція неперервна на відрізку інтегрування , – нижня межа інтегрування, – верхня межа інтегрування, обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца:

, де є первісною для підінтегральної функції .

Властивості визначеного інтеграла

а)

б)

в)

г) ,

д) , де const

е)

є) якщо відрізок інтегрування симетричний: , то для парної підінтегральної функції , для непарної функції .

Для знаходження первісної при обчисленні визначеного інтеграла можна застосувати табличні інтеграли та методи інтегрування для обчислення невизначених інтегралів. Розглянемо деякі з них.

а) заміна змінної під знаком визначеного інтеграла. Якщо функції і задовольняють умовам: функція неперервна на ; функція має неперервну похідну на ; складена функція визначена і неперервна на , то .

б) формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі

.

Задача 8. Знайти інтеграли.

1)

;

2)

;

3)