Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
1.1.1 Невизначений інтеграл.
Функція називається первісною для функції на проміжку , якщо диференційована на і справджується рівність для усіх . Існує множина первісних для функції , які відрізняються тільки сталою: . Цю множину первісних називають невизначеним інтегралом функції і записують , де – підінтегральна функція.
Властивості невизначеного інтеграла
а)
б)
в)
г) , де const
д)
е)
Таблиця невизначених інтегралів
; | |||
2a | |||
2б | |||
4а | |||
Зауваження: таблицею інтегралів можна користуватись у випадку, коли аргумент підінтегральної функції і вираз під знаком диференціала однакові.
Методи інтегрування
а) метод безпосереднього інтегрування. Обчислення інтегралів за допомогою властивостей невизначеного інтеграла та таблиці невизначених інтегралів.
Треба пам’ятати, що , де .
Задача 1. Знайти інтеграли
1)
;
2) . Можемо застосувати формулу 2б, де , і врахуємо лінійність аргументу u. За властивістю е) коефіцієнт лінійності дорівнює 3. Матимемо: ;
3) . Аналогічно прикладу 2), коефіцієнт лінійності дорівнює 7. Застосовуємо формулу 4а. Матимемо:
;
4)
.
При знаходженні інтеграла врахували, що і
б) метод заміни змінної (метод підстановки). Згідно цього метода вводять нову змінну інтегрування. Нехай – первісна функції на проміжку . Функція визначена та диференційована на проміжку і . Тоді справедлива формула . Зручним є і такий запис: Підстановку підбирають так, щоб мати після перетворення табличний інтеграл.
Задача 2. Знайти інтеграли
1)
Так як , то зробимо заміну змінної . Матимемо:
. Перевіримо отриманий результат:
.
2) =
.
3)
в) метод інтегрування частинами. Формула інтегрування частинами має вигляд: . До інтегралів, які обчислюються методом інтегрування частинами відносяться:
1) , , , , де – многочлен -го степеня, – дійсне число. В цих інтегралах через позначаємо , а через – один з виразів
2) , , , , , , де – многочлен -го степеня ( може дорівнювати нулю), – дійсні числа. В цих інтегралах через позначаємо один з виразів , , , , , , а через – .
Існують інші типи інтегралів для знаходження яких застосовують метод інтегрування частинами.
Зауваження. При застосуванні метода інтегрування частинами треба підінтегральний вираз розбити на два множники: u і , а саме: 1) треба віднести до ; 2) повинен бути таким, щоб інтегруванням легко знайти ; 3) Інколи доводиться формулу інтегрування частинами застосовувати декілька разів.
Задача 3. Знайти інтеграли
1)
;
2)
3)
Розв’яжемо отримане рівняння відносно шуканого інтеграла
г) інтегрування квадратних тричленів. До цих інтегралів відносяться:
1) , 2) , 3) ,
4) . Для інтегралів 1), 2) типів необхідно виділити повний квадрат у квадратному тричлені:
. Заміна приводить інтеграл до табличного: для інтеграла 1) типу маємо табличний інтеграл 13 або 14, для інтеграла 2) типу маємо табличний інтеграл 15 або 16. Для інтегралів 3), 4) типів необхідно у чисельнику виділити похідну квадратного тричлена, який знаходиться у знаменнику, і чисельник почленно поділити на знаменник. Отримаємо два інтеграли, перший з яких знаходимо по таблиці інтегралів за формулою 17 (для інтеграла 3) типу) або 18 (для інтеграла 4) типу). Другий інтеграл є інтегралом 1) або 2) типу.
Задача 4. Знайти інтеграл
д) інтегрування дробово-раціональних функцій. До цих функцій
відносяться дроби . Якщо , то дріб є неправильний. Треба виділити цілу частину, поділивши чисельник на знаменник: , де – частка (ціла частина), – правильний дріб (степінь многочлена менший за ). Далі, якщо правильний дріб не є простий, необхідно знаменник розкласти на множники (множниками можуть бути многочлени виду: , з дискримінантом квадратного тричлена меншим нуля), потім правильний дріб – на прості дроби. Простих дробів буде стільки, скільки множників у знаменнику, враховуючи кратність кожного. У чисельниках простих дробів записують многочлени в загальному вигляді, не враховуючи кратність многочленів у знаменнику. Коефіцієнти чисельників знаходимо методом невизначених коефіцієнтів або комбінованим методом. При інтегруванні правильних простих дробів можемо мати такі інтеграли:
;
;
;
– розглянуті в інтегруванні квадратних тричленів;
, де . При цьому многочлен немає дійсних коренів, тобто ;
можна знайти використовуючи рекурентну формулу:
Задача 5. Знайти інтеграли
1)
;
2)
=
+
е) інтегрування тригонометричних функцій. Інтеграли виду за допомогою універсальної підстановки приводяться до інтегралів від раціональних дробів. В деяких випадках застосовують інші підстановки, які спрощують знаходження інтегралів. Розглянемо ці випадки.
1) у випадку коли функція непарна відносно : , робимо заміну , а коли вона непарна відносно : , то робимо заміну .
2) якщо функція парна відносно і : , то робимо заміну
3) знаходиться підстановкою , якщо – ціле додатне непарне число, а – ціле додатне парне число, або підстановкою , якщо – ціле додатне непарне число, а – ціле додатне парне число. У випадку, коли і – цілі додатні парні числа, застосовують формули зниження степеня , та . Якщо і – цілі парні числа, але хоч одне з них від’ємне, або і – цілі непарні і від’ємні числа, то застосовують підстановку .
4) за допомогою формул:
;
;
зводяться до табличних.
Задача 6. Знайти інтеграли.
1)
2)
3)
4)
=
є) інтегрування ірраціональних виразів. Розглянемо деякі з них.
1) , де , – цілі додатні числа. Робимо заміну , де є спільним знаменником дробів . Ця заміна приводить до інтегралу від раціональної функції аргументу .
2) , де , – цілі додатні числа, , , , – дійсні числа. Заміна: , де є спільним знаменником дробів . Ця заміна приводить до інтегралу від раціональної функції аргументу .
3) В інтегралах, що мають вирази: 3а) , 3б)
3в) можна робити наступні заміни змінної:
3а)
3б)
3в)
Задача 7. Знайти інтеграл.
1.1.2 Визначений інтеграл.
Визначений інтеграл де функція неперервна на відрізку інтегрування , – нижня межа інтегрування, – верхня межа інтегрування, обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца:
, де є первісною для підінтегральної функції .
Властивості визначеного інтеграла
а)
б)
в)
г) ,
д) , де const
е)
є) якщо відрізок інтегрування симетричний: , то для парної підінтегральної функції , для непарної функції .
Для знаходження первісної при обчисленні визначеного інтеграла можна застосувати табличні інтеграли та методи інтегрування для обчислення невизначених інтегралів. Розглянемо деякі з них.
а) заміна змінної під знаком визначеного інтеграла. Якщо функції і задовольняють умовам: функція неперервна на ; функція має неперервну похідну на ; складена функція визначена і неперервна на , то .
б) формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі
.
Задача 8. Знайти інтеграли.
1)
;
2)
;
3)
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 588 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!