Геометрии

1.

Кудрявцев (I) §24 № 1(1,2), 2, 5, 11(3), 12(1,2,3,4),13.20,21,27,48,51,52,76(3),77(1),78(1), 109(1), 110(1), 118,122,123,124(1,2).

1. Построить годографы вектор - функций (t Î R):

1) x = cos t, y = sin t, z =1; 2) x = sin t, y = cos t, z = t ²;

2. Доказать, что годограф вектор-функции лежит на сфере.

5. Доказать, что вектор-функция является бесконечно малой при t ® 0.

11. Найти производную вектор - функции и написать уравнение касательной в произвольной точке её годографа, если:

3)

12. Найти производные функций:

1) 2)

3) 4)

13. Доказать, что если длина векторов постоянна в окрестности точки и существует производная от , то векторы и ортогональны. Каков механический смысл этого факта.

20. Доказать: если постоянные, то: 1) ; 2) .

21. Доказать, что если , где постоянные, то .

27. Доказать, что годограф вектор - функции

, , где постоянные векторы, причем и не коллинеарны, является эллипсом.

48. Найти уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к кривой: в произвольной ее точке.

51. Найти нормальную плоскость к кривой z = x ² + y², y = x перпендикулярную к прямой x = y = z.

52. Найти касательную к кривой x ² + y² =10, y ² +z ² =25 в точке (1, 3, 4).

76 (3). Найти кривизну и радиус кривизны в произвольной точке кривой

77 (1). Найти кривизну и центр кривизны в произвольной точке кривой

78 (1). Найти кривизну эллипса x = a cost, y = b sin t,

109 (1). Написать уравнение соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскости в произвольной точке кривой: x = a cos t, y = a sin t, z = bt (цилиндрическая спираль).

110 (1 ). Найти уравнение главной нормали и бинормали к кривой x = a cos t, y = a sin t, z = bt.

118. Найти векторы кривой x = t sin t, y = t cos t, z = ye^t в начале координат.

122. Найти кривизну кривой:

1) x = a ch t, y = a sh t, z = bt; 2) x =lncos t, y = lnsin t, z = t ; 3) .

123. Найти кручение кривой:

1) x = e^t cos t, у = e^t sin t, z = e^t; 2) x = a ch t cos t, y = a ch t sin t, z = at; 3) y ²= x, x ²= z.

124. Найти кривизну и кручение кривой:

1) 2 ay = x ², 6 a ² z = x ³; 2) x = a ch t, y = a sh t, z = at;

***Дополнение.

Основные формулы.

Плоские кривые:

Касательная: .

Нормаль: .

Центр кривизны: .

Кривизна: .

Радиус кривизны: .

Пространственные кривые

; .

касател. главн. нормаль бинормаль

;

кривизна кручение

; .

Уравнения нормальной, спрямляющей и соприкасающейся плоскости.

Центр кривизны: .

(дифференцирование по S).

æ æ (Формулы Френе-Серре).

Отметим, что:

1. Касательная вращается вокруг мгновенного положения бинормали с положительной угловой скоростью k (кривизна).

2. Бинормаль вращается вокруг мгновенного положения касательной с положительной угловой скоростью æ (кручение).

3. Трехгранник Френе вращается вокруг мгновенной оси

æ с угловой скоростью (полная кривизна)

4. Разложение ускорения движущейся точки на нормальное и тангенциальное

5. Если , то уравнение эволюты к кривой, заданной этим уравнением будет: , а уравнение эвольвенты к точке кривой будет: .

6. Если кривая L ₁ является эволютой к L, то кривая L является эвольвентой к L ₁.

Экзаменационные вопросы по курсу

“Математический анализ”