Примеры решения задач. З а д а ч а 10. Построить векторную диаграмму в начальный момент времени при сложении двух гармонических колебаний одинаковой частоты и одного направления

З а д а ч а 10. Построить векторную диаграмму в начальный момент времени при сложении двух гармонических колебаний одинаковой частоты и одного направления. Найти графически и аналитически амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Записать закон результирующего колебания. Законы складываемых колебаний имеют вид: где см; см; с^-1;

Дано: с-1; см; см; ; Найти: ;

Решение. Чтобы найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания, можно воспользоваться формулами (70), (71), предварительно заменив по формуле приведения синусоидальную зависимость косинусоидальной: (73)

где

. (74)

Тогда

. (75)

Подставляя в равенства (75) численные данные и учитывая формулу (74), получим: см; Отсюда ° рад. Следовательно, закон результирующего колебания имеет вид: где см; с^-1; рад.

Начертим векторную диаграмму сложения колебаний в начальный момент времени (рис. 6). Для этого в соответствии с правилами построения, изложенными в подразделе 4.1, сопоставим колебанию вектор длиной , который направим под углом к горизонтальной оси , т. е. вертикально вверх; колебанию сопоставим вектор длиной , который направим под углом к горизонтальной оси , т. е. отложим его в направлении оси (см. рис. 6). Результирующее колебание будет описываться вектором длиной полученным по правилу параллелограмма сложением векторов и Угол, образованный вектором и осью равен начальной фазе результирующего колебания

Ответ: где см; с^-1; Рис. 6 рад.

З а д а ч а 11. Получить уравнение траектории частицы и построить траекторию в плоскости , если частица одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях: где см, см.

Дано: Найти:

Решение. Чтобы найти уравнение траектории точки на плоскости необходимо из системы уравнений

; (76)

(77)

исключить время. Для этого из уравнения (76) выразим :

. (78)

Отсюда

. (79)

Преобразовав и возведя в квадрат уравнение (77), а затем, последовательно применив формулы приведения и двойного аргумента к тригонометрическим функциям, получим:

. (80)

Используя соотношения (78) и (79), из выражения (80) можно исключить время и получить уравнение траектории:

(81)

Для построения траектории в плоскости выберем наиболее удобные точки. Это точки, имеющие равную нулю, наибольшую и наименьшую из возможных ординату () или абсциссу ().

Таблица 2

Используя уравнение траектории (81), найдем вторые координаты этих точек Рис. 7

(см. Табл. 2).

Траектория, построенная по этим точкам, показана на рис. 7. Координата достигает максимума по модулю четырежды, а – дважды. Это объясняется соответствующим отношением частот: за время одного колебания вдоль оси точка совершает два колебания вдоль оси

Ответ: