Примеры решения задач. З а д а ч а 16. Шар массой 17,1 т и радиусом 80 см, служащий для слома домов, подвешен на тросе длиной 3,6 м

З а д а ч а 16. Шар массой 17,1 т и радиусом 80 см, служащий для слома домов, подвешен на тросе длиной 3,6 м. Верхний конец троса закреплен, масса троса пренебрежимо мала по сравнению с массой шара. Шар раскачивают в вертикальной плоскости, приложив вынуждающую силу, момент которой относительно оси вращения меняется по закону: По какому закону будет изменяться угол отклонения троса от положения равновесия, если частота и амплитуда момента вынуждающей силы соответственно равны с^-1 и 200 кН·м? Коэффициент затухания равен 5,4 с^-1. Найти полную энергию колебаний системы.

Дано: кг; м; м; с-1; Н·м; с-1; м/с2. Найти:

Решение. По условию задачи массой троса можно пренебречь, а шар – считать физическим маятником, ось колебаний которого находится на расстоянии (123) от центра шара, поэтому обобщенной координатой удобно выбрать угол отклонения троса от равновесного (вертикального) положения[7] (рис. 9) и записать закон установившихся вынужденных колебаний шара (118) для этого угла: (124)

где, с учетом того, что обобщенной вынуждающей силой является момент силы а обобщенной массой – момент инерции шара относительно оси колебаний , выражение (119) для амплитуды имеет вид:

(125)

Разность фаз между углом и вынуждающей силой вычисляется по формуле (120):

. (126)

Момент инерции шара относительно оси колебаний определяется с помощью теоремы Гюйгенса – Штейнера (см. сноску на стр. 7) с учетом формулы (123): Рис. 9

. (127)

Собственная частота колебаний шара как физического маятника

. (128)

Подставляя равенства (127) и (128) в формулы (125) и (126), получим расчетные выражения для параметров вынужденных колебаний:

; (129)

, (130)

Подставляем в соотношения (129) и (130) данные задачи:

(131)

°.

Таким образом, все параметры, определяющие закон (124), найдены.

Полная энергия колебаний маятника вычисляется с учетом численного значения амплитуды (131) по формуле: Дж.

Ответ: где рад; с^-1; °;

Дж.

З а д а ч а 17. При какой частоте колебаний гармонической вынуждающей силы амплитуда колебаний груза массой 420 г на пружинке жесткостью 20 Н/м принимает максимальное значение? Найти это значение, если амплитуда колебаний силы равна 8,5 Н, а коэффициент затухания колебаний грузика равен 4,3 с^-1.

Дано: кг; Н/м; Н; с-1. Найти:

Решение. Собственная частота колебаний груза . (132) Максимальное значение амплитуды вынужденных колебаний наблюдается при резонансе и определяется по формуле (122). Резонансная частота определяется по формуле (121).

С учетом соотношения (132) выражения (121) и (122) принимают вид:

(133)

(134)

Подставив в выражения (129) и (130) данные задачи, получим: с^-1; м.

Ответ:

м.

8. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ. РЕЗОНАНС. ИМПЕДАНС[8]