Примеры решения задач. З а д а ч а 12. Гиря массой 680 г подвешена на пружине жесткостью 16,3 Н/м

З а д а ч а 12. Гиря массой 680 г подвешена на пружине жесткостью 16,3 Н/м. За 24 полных колебания их амплитуда уменьшилась в 1,44 раза. Определить коэффициент затухания, циклическую частоту затухающих колебаний и добротность маятника.

Дано: кг; Н/м; Найти: ; ;

Решение. Амплитуда затухающих колебаний с течением времени убывает по закону: . (89) Время полных колебаний (90)

где – время одного колебания, т. е. период затухающих колебаний, связанный с их циклической частотой

(91)

соотношением:

; (92)

с^-1 – (93)

собственная частота колебаний пружинного маятника.

Следовательно, согласно закону (89) и равенству (90) в момент времени амплитуда колебаний . Отсюда

(94)

Соотношения (91), (92), (94) представляют собой систему трех уравнений с тремя неизвестными: , , Возводя обе части выражения (94) в квадрат, а затем, подставляя в полученное равенство формулы (92) и (91), получим:

(95)

Отсюда, учитывая равенство (93), выразим :

(96)

(97)

следовательно, выполнено условие малости затухания и добротность системы можно найти по формуле (87) с учетом выражения (96):

. (98)

Подстановка значения (93) в формулы (91) и (97) позволяет с учетом малости найти соответственно численные значения и : с^-1; с^-1.

Ответ: с^-1;

с^-1;

З а д а ч а 13. Энергия затухающих колебаний осциллятора, происходящих в вязкой среде с малым затуханием, за 5 мин уменьшилась в 37 раз. Определить коэффициент сопротивления среды, если масса осциллятора равна 120 г.

Дано: с; кг. Найти:

Решение. Коэффициент сопротивления среды связан с коэффициентом затухания колебаний и массой осциллятора: (99)

Для определения воспользуемся выражением (84) для средней за период полной энергии затухающих колебаний:

(100)

Отсюда для интересующего момента времени получим: и выразим :

(101)

Объединив формулы (95) и (96), получим:

. (102)

Подстановка численных данных в выражение (102) приводит к следующему результату: .

Ответ: , .