Примеры решения задач. З а д а ч а 3. Частица массой 14 г совершает свободные незатухающие колебания по закону синуса с периодом 3,7 с и с начальной фазой

З а д а ч а 3. Частица массой 14 г совершает свободные незатухающие колебания по закону синуса с периодом 3,7 с и с начальной фазой, равной нулю. Полная энергия колеблющейся частицы – 0,016 мДж. Найдите наибольшее значение модуля возвращающей силы, действующей на частицу.

Дано: кг; с; ; ; Дж. Найти: .

Решение. По условию зависимость координаты частицы от времени имеет вид: , (26) где – амплитуда; – время; – (27) собственная частота колебаний.

Согласно закону Гука проекция возвращающей силы, действующей на частицу, на ось вычисляется по формуле:

(28)

Так как движение одномерное, модуль силы

(29)

Следовательно, модуль возвращающей силы будет максимален при

(30)

Амплитуда колебаний может быть найдена, исходя из выражения (25) для полной энергии:

(31)

по формуле:

(32)

Объединив соотношение (3) и формулу (27), получим выражение для расчета обобщенного коэффициента жесткости:

. (33)

Подставив равенства (30) и (32), а затем – (33) в выражение (29), получим максимальное значение модуля возвращающей силы (другими словами, амплитуду колебаний силы): Отсюда после подстановки данных получим: .

Ответ: , .

З а д а ч а 4. Математический маятник массой 250 г и длиной 1,2 м совершает гармонические колебания с амплитудой 72 мм. Определить: 1) полную энергию колебаний; 2) модуль скорости колебаний в момент времени, когда смещение маятника от положения равновесия равно 36 мм.

Дано: м; кг; м; м. Найти: ;

Решение. 1) Полную энергию колебаний маятника вычислим по формуле (25): , (34) подставив в нее соотношение (3) для обобщенного коэффициента жесткости

, (35)

а затем – выражение

(36)

для собственной частоты колебаний математического маятника:

(37)

Подставив в формулу (37) численные данные, получим: .

2) Колебания гармонические, поэтому выполняется закон сохранения энергии:

(38)

Полная энергия определяется выражением (37), а потенциальная и кинетическая – формулами (23), (24), следовательно, с учетом равенств (35) и (36)

(39)

Отсюда в момент времени

. (40)

Подставив в формулу (40) численные значения всех величин, получим: м/с.

Ответ: мДж;

, м/с.

З а д а ч а 5. Материальная точка совершает свободные гармонические колебания вдоль оси так, что проекция ее скорости на ось меняется с течением времени по закону: , где м/с, рад/с, . Найти момент времени, ближайший к началу колебаний, когда проекция ускорения на ось колебаний равна м/с².

Дано: м/с; рад/с; м/с2. Найти:

Решение. Ускорение можно найти как производную по времени от скорости: (41) Выразим фазу колебаний из соотношения (41): , найдем время:

(42)

где – целое.

Подстановка численных данных в правую часть формулы (42) приводит к ряду значений времени: распадающемуся на две последовательности, соответствующие двум значениям – и – функции :

с; (43)

с. (44)

Выбираем из всех возможных решений, представленных последовательностями (43) и (44), минимальное (ближайшее к нулю) положительное значение времени: с, которое получается при подстановке значения в ряд (43).

Ответ: с.

З а д а ч а 6. Горизонтальный пружинный маятник массой 170 г выводят из положения равновесия горизонтальным ударом по грузу, после которого маятник начинает совершать гармонические колебания с амплитудой 2 см. Записать закон колебаний и зависимость скорости колебаний от времени, если коэффициент упругости пружины равен 80 Н/м.

Дано: кг; м; Н/м; м. Найти: ; .

Решение. Так как маятник совершает гармонические колебания, зависимость его смещения от положения равновесия от времени в общем случае имеет вид: (45) где – начальная фаза;

с – (46)

собственная частота колебаний маятника.

Чтобы записать закон (45) для рассматриваемого в задаче пружинного маятника в явном виде, необходимо найти начальную фазу колебаний. Для этого подставим в закон начальное условие: (начальное условие м означает, что в момент начала колебаний с маятник находился в положении равновесия), откуда

(47)

Подставив соотношение (45) и значение начальной фазы (47) в закон (45), получим зависимость:

(48)

Знак в правой части формулы (48) определяется выбором направления оси вдоль которой происходят колебания маятника. Если, например, направить ось в сторону смещения груза сразу после удара, то сразу после начала колебаний координата груза будет положительной, т. е. зависимость (48) примет вид:

(49)

где м; с.

Скорость колебаний можно найти как производную по времени от координаты, которая задана функцией (49):

(50)

Ответ: где м, с;

где м/с.