Лінійні диференціальні рівняння

Означення: Лінійними диференціальними рівняннями називаються такі рівняння, які містять невідому функцію і її похідну тільки в першій степені.

Такі рівняння мають вигляд:

або

Якщо то рівняння називається лінійним рівнянням без правої частини.

Для розв’язування лінійних рівнянь користуються підстановкою де і -- деякі функції від : тобто, розкладається на два множника.

Маємо на увазі, що ця операція не повністю визначена. Наприклад, якщо то цю функцію можна розкласти на множники багатьма способами:

і т.д.

Через це, покладаючи один із множників можна вибрати довільно.

Розглянемо розв’язування лінійних рівнянь на прикладах.

Приклад Розв’язати рівняння

Розв'язування

Тут -- рівняння лінійне; отже

тоді

замінюючи і їх значеннями, отримаємо:

Виносячи в другому і третьому доданках з а дужки, рівняння перепишемо так:

Виберемо так, щоб вираз в дужках перетворився на нуль. Це справедливо, так як співмножник в рівності беремо довільно.

Нехай

розділяємо змінні, маємо:

довільну змінну С можна не писати (в даному випадку беремо змінну, рівну 0).

Тепер рівняння набуде вигляду

,

,

.

(Тут С писати обов’язково, інакше вийде не загальний розв'язок, а частинний). Тепер знайдемо шукану функцію, пам’ятаючи, що

або

Відповідь:

Приклади для самостійного розв‘язування:

Знайти загальний розв'язок рівнянь:

1. (х + у)dx + x dy = 0.

2. (x-y)y dx = x² dy.

3. .

4. xy² dy = (x³+y³) dx.

5. (x² - 2y²)dx + 2xy dy = 0.

6. (x + y)dx + (y - x)dy = 0.

7. x dy - y dx = y dy.

8.

9. .

Знайти частинні розв'язки рівнянь:

10. , якщо у = 0 при х = 1.

2х

11. , якщо у = 1 при х = 1.

12. якщо у = 2 при х = 2.

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .