Решение задач

(12 уроков, № 85 — 130)

Урок 1 (86–88)

Цель — разъяснить детям предметный смысл деле_

ния с остатком.

Организуя учебную деятельность школьников, направ&

ленную на осознание предметного смысла деления с остат&

ком, учитель ориентируется на определение: «Разделить

целое неотрицательное число а на натуральное число b —

значит найти такие целые неотрицательные числа q и r,

когда a = bq +r и 0 ≤ r < b».

Основной способ действия ребенка – это установление

соответствия между предметной, символической и вербаль&

ной моделями.

Средством организации учебной деятельности являют&

ся задания на:

а) выполнение рисунка по данной записи (лучше, если

в этом случае учитель будет использовать как деление без

остатка, так и деление с остатком);

б) выполнение записи по данным рисункам;

в) выбор рисунков, соответствующих данной записи;

г) выбор записи, соответствующей данному рисунку.

В задании № 85 дети легко справляются с комменти&

рованием записи, данной под верхним рисунком, исполь&

зуя знания о смысле деления. В случае затруднения мож&

5 7

но обратиться к высказыванию Миши, которое дано в учеб&

нике.

Анализ предложенных рисунков позволяет ребятам

осознать новую запись, так как, комментируя рисунки,

они без помощи учителя произносят слова: «остался один

круг …», «осталось два круга …».

Дальнейшие рассуждения Миши и Маши учитель ис&

пользует для диалога с классом. Он может задавать те же

вопросы, которые Миша задает Маше. Потом интересно

сравнить, совпадают ли ответы ребят с ответами Маши.

Беседа завершается введением новых терминов (непол&

ное частное и остаток) и подводит учащихся к выводу о том,

что остаток при делении должен быть меньше делителя.

Если же одно число делится на другое без остатка, то в этом

случае остаток равен нулю.

Следует иметь в виду, что запись 29: 4 = 7 (ост. 1) не

принято в математике называть равенством (несмотря на

то, что здесь имеется знак «=». Поэтому учителю необхо&

димо контролировать свою речь, используя по отношению

к записям, содержащим в скобках остаток (ост.), только

термин «запись», а в других случаях (4•7 + 1 = 29) термин

«равенство». Можно проинформировать четвероклассников

об этом.

Работа, нацеленная на усвоение смысла деления с ос&

татком, продолжается при выполнении задания № 87, в

котором дети соотносят рисунки с математической записью.

Следует иметь в виду, что некоторые могут выбрать

рисунок 1, а не 6, тогда как именно он является пра&

вильным ответом. Если же все ученики справляются с за&

данием, то полезно выяснить, почему они не выбрали ри&

сунок 1, ведь на нем нарисованы 14 кругов, которые

разделены на три равные части, в каждой из них 4 круга и

2 круга осталось. (Дело в том, что выражение 3•4 + 2 = 14

не соответствует данному рисунку.)

Затем, под руководством учителя на доске выполняется

запись к рис. 2. Лучше начать с равенства: 5•3 + 2 = 17,

5 8

а после этого сделать запись: 17: 5 = 3 (ост. 2) и 17: 3 = 5

(ост. 2).

Записи к рисунку 3 учащиеся делают в тетрадях са&

мостоятельно.

Для проверки понимания предметного смысла деления

с остатком рекомендуем задание № 59 из ТПО № 1. После

этого можно выполнить задание № 86 в), г) из учебника.

Так как количество кружков, которые предстоит нари&

совать в этих заданиях, довольно велико, их не обязатель&

но располагать по прямой. Это можно сделать так:

6•4 + 2 = 26

Учитель сам рисует круги на доске, а дети по очереди

выделяют на рисунке соответствующие группы. Оставши&

еся кружки можно закрасить. Таким образом, разделив 26

кругов на равные части, по 6 кругов в каждой, мы получа&

ем 4 части, и 2 круга остаются (26: 6 = 4 (ост. 2), или,

разделив 26 кругов на 4 равные части, мы получим в каж&

дой части 6 кругов и 2 круга остаются (26: 4 = 6 (ост. 2)).

В урок можно включить также задание № 88. Сначала

«лишние» выражения дети зачеркивают самостоятельно

(простым карандашом), затем обосновывают свои действия.

Следует иметь в виду, что в пункте а) «лишним» мо&

жет быть выражение, в котором деление выполняется без

остатка (32: 4), т. к. в других выражениях значение част&

ного содержит остаток. Но, ориентируясь на внешние при&

знаки, ребята могут назвать в качестве «лишнего» и выра&

жение 30: 4. Здесь в делимом нет разрядных единиц. Этот

признак отсутствует в оставшихся выражениях.

В пункте б), напротив, «лишним» будет выражение, в

котором деление выполняется с остатком (34: 6). Хотя и

здесь ребята могут ориентироваться на разрядные едини&

5 9

цы делимого, т. к. делители, как и в случае а), все одина&

ковые.

В пункте в) «лишним» будет выражение 33: 5. В зна&

чении частного получается остаток 3, во всех других слу&

чаях остаток равен двум. Здесь тоже дети могут в качестве

признака «лишнего» выражения ориентироваться на за&

пись делимого (в выражении 33: 5 делимое записано дву&

мя одинаковыми цифрами, а в других выражениях — раз&

личными).

На дом: № 86 а, б); 87 (4, 5) из учебника и № 60 из

ТПО № 1.

Урок 2 (89, 91, 110)

Цель — продолжить работу по освоению предметно_

го смысла деления с остатком; разъяснить взаимосвязь

компонентов и результата при делении с остатком.

После проверки домашней работы выполняется зада_

ние № 89. Ученики самостоятельно отмечают «галочкой»

те записи, которые соответствуют рисунку. Результаты

работы обсуждаются фронтально. При этом важно, что&

бы дети проговаривали (рассказывали), как они действо&

вали. Здесь возможны разные варианты. Скорее всего,

учащиеся начнут выполнение задания с анализа рисун&

ка. Одни заметят, что «осталась одна фигурка», другие –

посчитают количество всех фигур и обратят внимание на

то, что в каждой части по 3 фигурки и таких равных ча&

стей 5.

Такой анализ позволяет отклонить запись а) 13: 4 = 3

(ост. 1) и в) 17: 3 = 5 (ост. 2) и выбрать запись д) 16: 5 = 3

(ост. 1), где число 16 обозначает количество всех фигур;

5 – число равных частей, на которые их разделили; 3 – чис&

ло фигур в каждой части, а ост. 1 – одну оставшуюся фи&

гурку.

Анализ рисунка дает возможность детям высказывать

суждения: если три фигуры повторить 5 раз и добавить еще

6 0

1 фигуру, то получим 16 фигур, которые соответствуют за&

писи б) 3•5 + 1 = 16. (Вполне вероятно, что это будет пер&

вая запись, которую выберут ученики.)

Запись г) отклоняется, т. к. ее нельзя соотнести с ри&

сунком; запись е) комментируется, она соответствует ри&

сунку.

Подводя итог, учитель может отметить, что выполнить

деление с остатком с помощью рисунка для большинства

не представляет труда. «А как же нужно действовать без

рисунка, если дана только запись?», – спрашивает он и пи&

шет на доске: 34: 8 = 4 (ост.).

Рекомендуем выслушать предложения детей, потом

прочитать рассуждения Миши в задании № 91. Затем по&

пытаться, рассуждая как Миша, найти остаток в записях,

которые даны в этом же задании.

Ребята могут самостоятельно карандашом записать со&

ответствующие числа в «окошках», а при проверке зада&

ния описать свои действия.

В ТПО № 1 учащимся предстоит самостоятельно выпол&

нить задание № 63, которое при обсуждении учитель до&

полняет вопросами:

— На сколько надо увеличить число 32, чтобы при де&

лении на 8 в остатке получилось 2? 3? 4?

— Какое число надо разделить на 8, чтобы в остатке по&

лучилось 1? 5? 6?

Аналогично можно работать и с другими числами, пред&

ложенными в этом задании.

Задание № 90 (учебник) сначала выполняется устно.

Дети анализируют и сравнивают выражения в каждом стол&

бце, отмечают, что в первом и последнем выражениях де&

ление выполняется без остатка, что остаток в каждой сле&

дующей строке увеличивается на 1, но он не может быть

больше делителя. При делении на 5 можно записать толь&

ко 4 случая деления с остатком, при делении на 6 — 5 слу&

чаев, при делении на 7 — 6 случаев, поэтому столбец в)

самый длинный.

6 1

Составление таких столбцов для выражений 32: 8 и

27: 9 можно включить в домашнюю работу и еще задать на

дом № 110 из учебника и № 66 из ТПО № 1.

Урок 3 (92–95, 104, 111)

Цель — познакомить детей с записью деления «угол_

ком» и продолжить работу по усвоению взаимосвязи ком_

понентов и результата при делении с остатком. Рас_

смотреть два способа деления с остатком.

Знакомя учащихся с новой формой записи деления с

остатком, советуем ориентироваться на задание № 92. Од&

нако не следует открывать для этого учебник. Лучше вы&

полнить на доске две записи и задать вопросы, которые

имеются в этом задании, а потом сравнить ответы детей с

высказываниями Миши и Маши и поупражняться в вы&

полнении новой записи.

Затем ребята самостоятельно выполняют задание № 93 а)

(обводят простым карандашом числа, соответствующие

заданию).

«Как же можно рассуждать, если нужно выполнить

деление?», — спрашивает учитель и записывает на доске

выражение 28: 5.

Выслушиваются предложения детей, которые затем

сравниваются с рассуждениями Миши и Маши. В тетради

ученики выполняют деление, комментируя свои действия

так, как делал Миша.

Объем записей в тетрадях определяется тем, насколь&

ко свободно четвероклассники могут объяснять свои дей&

ствия. Следует обратить их внимание на то, что быстрое и

правильное выполнение задания во многом зависит от того,

как усвоны табличные случаи деления.

«А, если я предложу вам такое выражение, — говорит

учитель и записывает на доске 107: 17, — сможете ли вы

быстро подобрать число, которое без остатка делится на 17?»

В случае, если учащиеся смогут справиться с заданием и

6 2

назовут число 102, можно предложить им другое выраже&

ние, например, 1384: 275, в этом случае они вряд ли назо&

вут число, которое без остатка делится на 275.

— Как действовать в этом случае? — учитель ставит но&

вую учебную задачу.

Ребята делают попытку найти новый способ действия.

Обычно догадываются те, кто уже усвоил взаимосвязь ком&

понентов и результата при делении с остатком. Если воз&

никают затруднения, учитель может сам предложить под&

бирать не делимое, а частное.

Не следует жалеть времени на эту работу, она окупит&

ся сторицей.

На доске оформляется запись:

1384 275 275

1300 4 4

84 ост. 84 < 275 1300

Вполне возможно, что справа будут записаны и другие

случаи умножения, т. к. не все дети могут воспользовать&

ся прикидкой при подборе неполного частного.

Таким образом, выполняя деление, можно либо подби&

рать наибольшее делимое, которое делится на делитель без

остатка, либо подбирать неполное частное, затем умножать

его на делитель и проверять, получится ли остаток меньше

делителя.

Конечно, не следует заучивать и даже воспроизводить

сказанное выше. Ученики запомнят это непроизвольно в

процессе выполнения различных заданий на последующих

уроках. Особенно, если учитель, комментируя действия

учащихся, будет отмечать, каким способом выполнено де&

ление с остатком – подбором делимого или подбором част&

ного.

Следует иметь в виду, что подбор частного — более уни&

версальный способ и, если в теме «Деление с остатком» бу&

дет проведена соответствующая работа, то она снимет це&

лый ряд трудностей при усвоении алгоритма письменного

деления.

х

6 3

Для упражнения в применении этого способа мож&

но на уроке выполнить по одному случаю деления из

задания № 94 а), б), в), а дома учащиеся продолжат

эту работу.

Задание № 95 обсуждается устно. Урок можно допол&

нить заданиями № 64, 65 из ТПО № 1. Учащиеся выпол&

няют их самостоятельно, затем обмениваются тетрадями

и проверяют друг друга.

На дом: № 111, 104 из учебника.

Урок 4 (96–100, 103, 106, 107)

Цель — закрепить знание о взаимосвязи компонентов

и результата при делении с остатком и о способах деле_

ния с остатком.

Задание № 96 а) дети выполняют в тетради, исполь&

зуя различные формы записи. Пункт а) можно записать

на доске и обсудить способ действия. Например, при деле&

нии 83 на 9 учащиеся могут воспользоваться как подбором

делимого, так и подбором частного с помощью таблицы ум&

ножения. В первом случае они рассуждают так: «Самое

большое число, меньшее, чем 83, которое делится на 9, это

81; разделим его на 9, получим 9; из 83 вычтем 81, полу&

чим 2, значит, 83: 9 = 9 (ост. 2)». Во втором случае – так:

«Запишем в частном число 9, умножим его на делитель

9•9 = 81, вычтем это число из делимого, получим 2; это

остаток, он меньше делителя.

Приведенные рассуждения сопровождаются записью:

83 9

81 9

2 ост.

Анализируя запись 217: 34 = (ост.), ребята прихо&

дят к выводу, что найти наибольшее число, меньшее 217,

которое без остатка делится на 34, довольно сложно. По&

этому целесообразно подбирать неполное частное, восполь&

зовавшись способом прикидки результата. Для этого нуж&

–

6 4

х

но выделить в делимом и делителе количество десятков:

(21 дес.: 3 дес., получим 7). Проверяя результат прикид&

ки, одни могут 34•7 (умножают в столбик). Получив 238,

рассуждают: число 238 больше, чем делимое, поэтому не&

полное частное не может быть равно 7; оно должно быть

меньше 7; проверяем число 6 (34•6 = 204 – умножаем в

столбик). Затем находим остаток (217 – 204 = 13; 13 < 34),

получаем:

217 34

204 6 217: 34 = 6 (ост. 13)

13 ост.

Другие могут сразу выбрать число 6 и проверить рас&

суждением:

34•6 = 204; 217 – 204 = 13; 13 < 34.

Затем учащиеся самостоятельно выполняют задание № 67

из ТПО № 1.

Рекомендуем после окончания работы организовать

взаимопроверку, а затем обсудить результаты и способ дей&

ствия, которым пользовались дети. (Сначала находим чис&

ло, которое без остатка делится на делитель, для этого не&

полное частное умножаем на делитель; затем прибавляем

остаток и полученное число вставляем в «окошко».)

При выполнении этого задания ребята упражняются в

устных вычислениях: табличное умножение, умножение

двузначного числа на однозначное.

Задание № 97 из учебника рекомендуем выполнить ус&

тно и прочитать рассуждения Маши. На доске советуем

дать записи:

12•6 + 3 = 75 9•5 + 4 = 49

75: 6 = 12 (ост. 3) 49: 5 = 9 (ост. 4)

Они помогут детям самостоятельно справиться с зада_

нием № 98. Его следует сделать в обычных тетрадях, офор&

мив запись:

3007 27063 + 7 = 27070

9 27070: 9 = 3007 (ост. 7)

27063

–

6 5

Для одного&двух выражений такую запись можно вы&

нести на доску, а пункт б) ученики оформят в тетрадях

самостоятельно.

Задания № 99–100 выполняются устно.

В з адании № 99 учащиеся сначала анализируют запи&

си, выделяют признаки их сходства и различия и отвеча&

ют на вопрос, не выполняя вычислений (т. е. достаточно

сравнить делитель и значение частного). Самое большое

делимое будет там, где остаток наибольший. Полезно вы&

полнить такие записи:

3085 • 6 + 4 3085 • 6 + 2

3085 • 6 + 1 3085 • 6 + 5

После этого можно умножить 3085 на 6 в столбик и вы&

числить значение каждого выражения.

Деятельность четвероклассников, направленную на

закрепление навыков письменного умножения (предше&

ствующая тема), можно органически включить в процесс

изучения новой темы. Для этой цели используются зада&

ния вида: «Какое число можно вставить в «окошко», что&

бы получилась верная запись?»

: 385=6 (ост. 12)

Ответ на этот вопрос сопровождается записью:

385•6+12. Учитель может легко составлять такие равен&

ства на деление с остатком сам, выбирая в качестве дели&

теля четырехзначные, пятизначные и шестизначные чис&

ла. При этом и остаток может быть четырехзначным,

пятизначным, шестизначным числом. Например: Какое

число нужно вставить в «окошко», чтобы получилась вер&

ная запись:: 30456=4 (ост. 30429)

При выполнении этого задания учащиеся упражняют&

ся в умножении многозначного числа на однозначное, а

затем в сложении многозначных чисел.

Представляет интерес сравнение и обсуждение таких

записей:

: 2484= 9 (ост.)

: 9 = 2484 (ост.)

6 6

В процессе обсуждения полезно выяснить, в каком слу&

чае делимые в равенствах будут одинаковыми.

В урок можно включить задания № 106 и 107. При об&

суждении задачи № 106 рекомендуем изобразить на дос&

ке треугольник, квадрат и прямоугольник.

Выполнив сложение длин сторон треугольника, дети

получают ответ — 26 см, затем делят 26: 4 = 6 (ост. 2).

Делают вывод, что квадратную рамку из этого куска про&

волоки сделать нельзя. Для ответа на второй вопрос задачи

нужно выяснить, чему равна длина и ширина прямоуголь&

ника, если его периметр 26 см. Ответ на этот вопрос нео&

днозначный: 1 и 12; 2 и 11; 3 и 10; 4 и 9; 5 и 8; 6 и 7. При

выполнении задания ученики повторяют состав числа 13.

Задание уместно дополнить вопросами: можно ли сделать

квадратную рамку из куска проволоки длинной 16 см, 24 см,

18 см, 20 см и т. д.? Какой длины может быть проволока,

чтобы из нее удалось сделать квадратную рамку? (Дети на&

зывают величины, а затем проверяют свой ответ вычисле&

ниями.)

Задание на дом: № 103 а), б); 98 в) из учебника и № 70

а), б) из ТПО № 1.

Урок 5 (101 – 103, 105, 108, 109)

Цель — совершенствовать навыки умножения много_

значного числа на однозначное и умение делить с остатком.

В начале урока рекомендуем проверить задание № 70

из ТПО № 1, после чего дети могут закончить самостоя&

тельно пункты в) — ж), обменяться тетрадями, проверить

работу друг у друга.

7 см

9 см

10 см

6 7

Затем учитель выполняет на доске запись: 86: = 9

(ост. 5) и формулирует задание № 101. При его обсужде&

нии важно акцентировать внимание на способе действия.

А именно, нужно из делимого вычесть остаток (86 – 5), по&

лучим 81: = 9. Теперь можно рассуждать так: если дели&

мое разделить на частное, получим делитель. Советуем

выполнить такую запись:

(86 – 5): 9 = 9

86: 9 = 9 (ост. 5)

9•9 + 5 = 86

Ответ Миши, приведенный в учебнике, следует исполь&

зовать только в случае затруднений и для проверки, т. е.

после того, как ребята выскажут свои предположения.

Аналогичные записи оформляются в тетради для пун&

кта а); пункт б) можно включить в домашнюю работу.

Для выполнения задания № 102 рекомендуем загото&

вить карточки с выражениями, приведенными в учебни&

ке, и разместить их на доске так же, как на с. 36. Затем

сформулировать вопрос, данный в задании. Пусть дети по&

пытаются сами найти признак, по которому можно разбить

выражения на группы. Если возникнут затруднения, мож&

но оказать помощь, предложив разбить выражения на две

группы. В первом случае в одной группе деление будет вы&

полняться без остатка, а в другой – с остатком. Во втором

случае можно ориентироваться на величину остатка.

ост. 0 ост. 1 ост. 2 ост. 3 ост. 5

72: 8 55: 9 20: 3 84: 9 53: 8

48: 4 37: 6 59: 6

28: 7 65: 8

В задании № 105 учащиеся должны заметить, что зна&

чение частного во второй строке на единицу меньше, чем

значение частного в первом равенстве, но при этом во вто&

рой записи получается еще остаток. Конечно, догадка о спо&

собе действия с помощью первого равенства – довольно

сложная задача. Тем не менее следует предоставить школь&

никам возможность высказать свои предложения. При

6 8

этом надо учитывать, что большинство из них, ориентиру&

ясь на предыдущие задания, будут предлагать такой спо&

соб действия: 16•8 + 5. Этот способ не удовлетворяет усло&

вию, т. е. не позволяет воспользоваться первым равенством.

В этом случае полезно путем наводящих вопросов обратить

внимание детей на делители и значения частных:

— Что вы можете сказать о делителях в одной и другой

записи? (Они одинаковы.)

— Что вы можете сказать о значении частных? (В пер&

вом равенстве в значении частного нет остатка, во второй

записи есть остаток, но значение частного на 1 ед. меньше.)

— Если бы во втором случае не было остатка, т. е. было

бы дано равенство:: 8 = 16, то могли бы мы воспользо&

ваться первым равенством для нахождения второго дели&

мого? (Тогда второе делимое было бы на 8 меньше, чем 136.

Следовательно, 136 – 8 = 128.)

— Может быть, теперь есть предположения, как мож&

но действовать во втором случае, чтобы найти делимое, ис&

пользуя первое равенство?

— Давайте попробуем к числу 128 прибавить 5.

— Почему 5?

— Проверим, верно ли мы нашли делимое во второй за&

писи — 133: 8 = 16 (ост. 5)? (16•8 + 5 = 133)

После того как способ действия найден, учащиеся ис&

пользуют его для выполнения задания с другими парами

записей.

Задание это не следует задавать на дом.

При выполнении задания № 108 можно организовать

деятельность учащихся по&разному: а) после чтения зада&

чи прокомментировать записи Миши и Маши и ответить

на поставленный вопрос: «Кто прав, Миша или Маша?»

(Они оба правы.); б) можно поместить текст задачи на дос&

ке и предложить детям самостоятельно записать ее реше&

ние, а после этого сравнить свои записи с записями Миши

и Маши.

6 9

В задании № 109 советуем предложить детям сначала

найти неверные записи, не выполняя вычислений. Это

запись г), где остаток больше делителя, и запись б), где

остаток равен делителю. По отношению к этим записям

полезно задать вопросы:

— Какие числа можно получить в остатке при делении

на 4?

— Как исправить ошибку, допущенную в записи б)?

(Надо 22908: 4 = 5727 и проверить: 5727•4).

— Как исправить ошибку, допущенную в записи г)?

(Надо 82561: 4 = 20640 (ост. 1) и проверить: 20640•4 + 1).

Задание это конечно, лучше выполнить в классе.

Для самостоятельной работы в урок можно включить

задания № 68, 71 из ТПО № 1.

На дом: № 101 б), 103 в), г) из учебника.

Урок 6 (112)

Цель — проверить усвоение детьми способов деления

с остатком, познакомить их со случаем деления мень_

шего числа на большее.

В начале урока можно продолжить работу с заданиями

№ 68, 71 из ТПО № 1.

Затем рекомендуем предложить ребятам задание для

самостоятельной работы.

Выполни деление.

а) 87: 9 16: 3 384: 42

б) 66: 8 28: 9 521: 54

в) 56: 9 33: 4 127: 15

г) 57: 8 19: 6 418: 43

д) 28: 3 30: 7 624: 75

Необходимо дать детям указание, что деление нужно

выполнять по строкам, т. е. сначала пункт а), затем б) и

т. д. Определяя время самостоятельной работы, советуем

ориентироваться на полное выполнение ее кем&то из уча&

щихся. (За первые 2–3 работы учитель может поставить

7 0

положительные оценки.) При обсуждении результатов ре&

бята комментируют тот способ, которым они пользовались,

выполняя задание. Например, для случаев 87: 9, 16: 3

большинство будет подбирать делимое, т. е. рассуждать

так: найдем самое большое число, меньше 87, которое де&

лится на 9. Это 81. Разделим 81 на 9, получим 9. Значит,

87: 9 = 9 (ост. 6).

А для случая 384: 42 будут подбирать неполное част&

ное, пользуясь способом прикидки. Для этого нужно вы&

делить количество десятков в числе 384 и в числе 42, а по&

том «прикинуть», сколько раз 4 десятка содержатся в 38

десятках (9 раз, т. к. 9•4 = 36). Подобрав искомое част&

ное способом «прикидки», нужно выполнить проверку:

42•9 = 378 (вычисления выполняются в столбик), найти

остаток 384 – 378 = 6 и сравнить его с делителем (6 < 42).

Теперь можно выполнить запись: 384: 42 = 9 (ост. 6).

Если у детей возникнут затруднения при выполнении

самостоятельной работы, советуем пункт а) сначала разоб&

рать на доске.

Используя известные способы деления с остатком,

школьники обсуждают равенства, приведенные в зада_

нии № 112. Например, 7: 15 = 0 (ост. 7). Для того чтобы

установить, верное это равенство или нет, надо рассуж&

дать так: 0•15 + 7 = 7. Теперь остается выяснить, как в

значении частного получился нуль. При этом можно вос&

пользоваться как одним, так и другим способом деления

с остатком. Первый способ: «Найдем число, которое было

бы меньше семи и без остатка делилось на 15. Это число

нуль. Теперь умножим это число на делитель и найдем

остаток:

7 – 0•15=7

7<15 (остаток меньше делителя)».

Пользуясь вторым способом, многие дети могут оказать&

ся в затруднении — какое число «попробовать» первым?

Учитель сам может предложить: «Давайте попробуем чис&

ло 1». Но если 1•15 = 15, то получаем число, которое уже

7 1

больше делимого. Ясно, что число 2 «пробовать» не имеет

смысла. Остается единственная возможность — число

нуль.

В результате обсуждения ребята делают вывод, что при

делении меньшего числа на большее в значении частного

получается нуль и остаток, который равен делимому.

Задание № 112 рекомендуем дополнить различными

упражнениями.

— Можно ли, не выполняя вычислений, найти значение

частного в столбике а), делимого и остатка в столбике б),

делимого в столбике в)?

а) 38: 54 б): 54=0 (ост.)

124: 282: 72=0 (ост.)

543: 780 и т. д.

в): 94 = 0 (ост. 2)

: 87=0 (ост. 32)

: 32=0 (ост. 34)

Последняя запись неверная, т.к. нуль можно получить

в частном, если остаток меньше делителя.

Дома дети могут придумать различные выражения, в

которых делимое меньше делителя, и вычислить их зна&

чения. Важно, чтобы в результате выполнения этих уп&

ражнений они усвоили, что при делении меньшего числа

на большее в частном получается нуль, а остаток равен де&

лимому. В дальнейшем при делении многозначных чисел

ребята будут объяснять свои действия для случаев деле&

ния меньшего числа на большее, используя именно этот

вывод, а не утверждение: «Меньшее число на большее не

делится, ставим нуль».

Для проверки результатов работы, проведенной на уро&

ке, можно предложить задание № 74 из ТПО № 1.

Задание на дом: № 73, 76 из ТПО № 1.

7 2

1 2

Урок 7 (113–116)

Цель — совершенствовать умения делить с остат_

ком и решать задачи.

Урок можно начать с самостоятельного выполнения

учащимися задания № 75 из ТПО № 1.

При проверке достаточно выяснить, на сколько увели&

чивается делимое в каждом столбце.

Затем в рабочих тетрадях дети выполняют задание № 113,

где Маша разбила выражения на группы, ориентируясь

на величину остатка. В первой группе выражений остаток

равен трем, во второй группе — четырем. При разбиении

выражений на группы Миша ориентировался на значение

неполных частных. В первой группе неполные частные

равны девяти, во второй — восьми, но величину остатка

при этом он не учитывал.

Продумывая работу с задачами, учитель использует

различные методические приемы и их сочетания. Заме&

тим, что в четвертом, так же как и в третьем классе, следу&

ет обязательно давать время на самостоятельную запись

решения задачи (до 5 – 6 минут), а затем уже приступать к

обсуждению способов решения. Это будет способствовать

формированию умения самостоятельно работать с задачей

и позволит учителю получить более объективные данные о

том, кто из детей научился решать задачи. Если некото&

рые из них испытывают затруднения, то учитель предла&

гает тем, кто справился с задачей, поставить наводящие

вопросы и тем самым помочь другим выполнить задание.

Помимо наводящих вопросов можно обратиться к схеме

или к выбору схем. Например, после чтения задачи № 115

учитель рисует на доске две или три схемы и предлагает

детям выбрать ту, которая соответствует задаче:

7 3

Ребята объясняют, почему не подходит первая схема и

доказывают, что данной задаче соответствует вторая схема.

После записи решения этой задачи полезно составить

другую задачу, соответствующую первой схеме. Решение

ученики записывают самостоятельно.

Задания а) и б) из № 115, которые предлагаются в

учебнике, можно выполнить устно.

Если возникнут затруднения при решении задачи № 116,

следует воспользоваться таблицей, которую учитель зара&

нее заготовит на доске, а учащиеся заполнят, в соответ&

ствии с условием задачи.

Выпечка хлеба за Количество дней Выпечка хлеба (кг)

1 день (кг)

одинаково 3 510

? 9?

Пользуясь таблицей, дети смогут самостоятельно най&

ти массу выпеченного хлеба за 1 день (510: 3), а затем —

за 9 дней (510: 3•9). При делении числа 510 на 3 ученики

рассуждают так: 51 дес.: 3, получим 17 дес., или 170. При

умножении 170 на 9 они могут воспользоваться тем же при&

емом, т. е. 17 дес. умножить на 9.

Не следует забывать и о втором способе решения зада&

чи, где ребята сначала выясняют, во сколько раз 9 больше,

чем 3 (9: 3 = 3 (раза)), а затем 510 умножают на 3 (51 дес.

умножить на 3). Для разъяснения детям этого способа ре&

шения задачи советуем использовать схему:

Для индивидуальной самостоятельной работы рекомен&

дуем задачи № 44, 48, 49 из Тетради «Учимся решать за&

дачи».

На дом: № 114 из учебника и № 77 из ТПО № 1.

7 4

Урок 8 (117–119)

Цель — совершенствовать умение решать задачи.

Урок рекомендуем начать с выполнения задания № 118.

При анализе выражений каждого столбца этого зада&

ния ученики замечают, что делители во всех выражениях

одинаковы, деление везде выполняется с остатком, в каж&

дом следующем выражении делимое увеличивается на одно

и то же число, а значение частного увеличивается на 1. Пос&

ле того как вычислены значения выражений и сформули&

ровано правило, по которому составлены столбцы, дети от&

вечают на вопрос: «В каком выражении закономерность

нарушается?» (Когда деление выполняется без остатка.)

Например:

8: 7 = 1 (ост. 1)

16: 7 = 2 (ост. 2)

24: 7 = 3 (ост. 3)

32: 7 = 4 (ост. 4)

40: 7 = 5 (ост. 5)

48: 7 = 6 (ост. 6)

56: 7 = 8

Продолжение каждого столбца школьники записыва&

ют в рабочих тетрадях. Работу можно организовать по ва&

риантам. Первый – пункты а), б); второй – пункты в), г).

Обменявшись тетрадями, учащиеся проверяют друг у друга

результаты самостоятельной работы. Затем самостоятель&

но выполняется задание № 78 из ТПО № 1 (кто сколько

успеет за отведенное время, например, за 10 минут). Ос&

тавшуюся часть задания можно включить в домашнюю ра&

боту.

Задачу № 117 рекомендуем выполнить в классе. После

ее прочтения советуем вызвать к доске 2 – 3 учеников,

желающих нарисовать схему. Остальные выполняют за&

дания в тетрадях. Затем фронтально обсуждаются рисун&

ки на доске. Схема должна иметь вид:

7 5

Советуем обвести, например, красным цветом отрезки,

которые обозначают картофель, взятый из каждого хра&

нилища (длина отрезков одинакова, т. к. взяли картофель

поровну).

После того, как схема нарисована на доске, учитель

может либо дать классу время для самостоятельной запи&

си решения задачи, либо составить план ее решения. Он

может быть таким: сначала узнаем, сколько килограммов

картофеля осталось в двух хранилищах, затем — сколько

картофеля взяли из двух хранилищ (из всего картофеля

вычитаем то, что осталось в двух хранилищах); теперь

можно узнать, сколько картофеля взяли из каждого хра&

нилища (т. к. известно, что брали из хранилищ поровну).

Чтобы ответить на вопрос задачи, — узнаем, сколько

картофеля было в первом хранилище, а потом – сколько

во втором.

Записывая решение задачи, ребята упражняются в сло&

жении и вычитании многозначных чисел. В соответствии

с данным планом решение задачи выглядит так:

1) 32500 2) 99890 3) 22000: 2 = 11000 (кг)

45390 77890

77890 (кг) 22000 (кг)

4) 32500 5) 45380

11000 11000

43500 (кг) 56390 (кг)

Следует иметь в виду, что возможны и другие способы

решения задачи.

+

+ +

–

7 6

2&ой способ

1) 99890 2) 67390

32500 45390

67390 (кг) 22000 (кг)

3), 4), 5) действия такие же, как в 1&м способе.

3&й способ

1) 99890 2) 54500

45390 32500

54500 (кг) 22000 (кг)

3), 4), 5) действия такие же, как в 1&м и во 2&м спосо&

бах.

Однако прокомментировать выполненные действия во

втором и третьем способах довольно трудно. Это можно сде&

лать, если ввести на схеме буквенные обозначения.

Тогда пояснение к первому действию второго способа

будет таким: это картофель, который на схеме обозначен

отрезками ВС и МD; а пояснение ко второму действию –

так: это картофель, который на схеме обозначен отрезка&

ми ВС и КD (эти отрезки одинаковой длины, они обознача&

ют картофель, который взяли из двух хранилищ).

Аналогично можно дать пояснение к третьему способу

решения задачи.

К задаче № 119 желательно нарисовать схему в клас&

се, а решение дети запишут дома. Схема может выглядеть

так:

– –

– –

7 7

Урок можно дополнить задачами № 25, 26 из Тетради

«Учимся решать задачи».

На дом: № 119 из учебника, № 78 из ТПО № 1.

Урок 9 (125; проверочная работа )

Цель — проверить усвоение смысла деления с остат_

ком и способов деления с остатком.

В содержание проверочной работы можно включить

задания из контрольной работы № 5 пособия: Истоми&

на Н.Б., Шмырева Г.Г. Контрольные работы по математи&

ке. 4 класс. Приведем по одному из вариантов каждого

уровня.

Контрольная работа № 5 (с. 40)

Первый уровень. Вариант I

1. Вставь пропущенные числа, чтобы получились

верные записи.

27: 6 = s (ост. 3) 21: 9 = 2 (ост. s)

42: 8 = s (ост. 2) 50: 7 = 7 (ост. s)

41: 7 = s (ост. s) 17: 4 = s (ост. s)

2. Выполни две записи деления с остатком, в

которых делитель — число 4.

3. Выполни деление с остатком.

65: 7 38: 12 5632: 100

52: 8 74: 15 640: 316

Второй уровень. Вариант I

1. Вставь пропущенные цифры, чтобы получились

верные записи.

6s: 9 = 7 (ост. 5) 5s: 6 = 8 (ост. 4)

8s: 9 = 9 (ост. 2) 4s: 7 = 5 (ост. 6)

2s: 3 = 9(ост. 2) 5s: 7 = 7 (ост. 5)

7 8

2. Вставь пропущенные числа, чтобы записи были

верными.

s: 5 = 13 (ост. s) 48: s = s (ост. 6)

s: 8 = 12 (ост. s) 65: s = s (ост. 3)

3. Из чисел 16, 24, 45, 37, 65 выбери те, при

делении которых на 7 в остатке получается 3. Выпол/

ни запись деления с остатком.

Третий уровень. Вариант I

1. Разгадай правило, по которому выполнены за/

писи, и вставь пропущенные числа.

s: s = 14 (ост. 6)

s: s = 14 (ост. 5)

s: s = 14 (ост. 4)

s: s = 14 (ост. 3)

s: s = 14 (ост. s)

s: s = 14 (ост. s)

2. Вставь пропущенные цифры.

_ 4ss 60 _ 5ss 74

s6s s ss4 s

42 (ост.) 67 (ост.)

3. Из данных чисел выбери четыре числа, из ко/

торых можно выполнить запись деления с остатком.

а) 6, 2, 2356, 1000, 356, 235;

б) 7841, 1000, 8, 7, 841, 784.

Результаты проверочной работы позволят учителю сде&

лать вывод о том, как дети усвоили тему «Деление с остат&

ком» и в зависимости от этого скорректировать дальней&

шую работу.

На дом: № 125 из учебника и № 79 б) из ТПО № 1.

7 9

Урок 10 (122—125)

Цель — совершенствовать умения делить с остат_

ком и решать задачи.

Урок рекомендуем начать с проверки домашнего зада_

ния № 79 б) из ТПО № 1. Так как оно имеет множество

решений, то можно вызвать к доске 2–3 учеников, чтобы

они выполнили те записи, которые сделали дома.

Главное — обсудить способ действия. Он может быть

таким: «Сначала нужно подобрать число, которое без ос&

татка делится на 25. Например, число 50. Затем к числу 50

прибавить 12, т. к. это число получилось в остатке (50 + 12 =

= 62). Вставляем числа в «окошки». Получаем запись:

62: 25 = 2 (ост. 12). Теперь можно увеличивать делимое на

25 (62 + 25 = 87) и вставлять числа в «окошки» второй за&

писи 87: 25 = 3 (ост. 12). Аналогичные рассуждения

выполняются к третьей и четвертой записям: 87 + 25 =

= 112. Запись: 112: 25 = 4 (ост.12); 112 + 25 = 137. Запись:

137: 25 = 5 (ост. 12).

Проверку этого задания полезно продолжить обсужде&

нием пункта в), которое можно начать с вопроса: «Как мы

будем рассуждать при заполнении окошек в пункте в) —

так же или по&другому?»

Ученики предлагают свои варианты, обсуждают их.

Делают вывод, что для заполнения «окошек» в записи

51: = (ост. 3) возможны такие действия: «Сначала

найдем число (делимое), которое делится без остатка

(51 – 3 = 48), затем будем подбирать делители, т. е. числа,

на которые 48 делится без остатка. Возможны варианты:

2, 4, 6, 8, 12, 24. Лучше все записи оформить на доске.

51: 2 = 24 (ост. 3) 51: 4 = 12 (ост. 3)

51: 8 = 6 (ост. 3) и т. д.

В ТПО дети имеют возможность сделать 4 записи. Вто&

рой столбец пункта в) они выполняют самостоятельно.

Для проверки задачи № 125 советуем нарисовать на

доске схему, т. к. вполне возможно, что дома ребята реша&

ли задачу и без нее. Учитель может сначала нарисовать

8 0

даже неверную схему 1 или схему, в которой отрезки, обо&

значающие количество человек, посетивших выставку в

первый, второй и третий день, расположены в другом по&

рядке. Это схема 2.

Анализируя схему 1, ученики должны заметить ошиб&

ку (схема не соответствует условию), т. к. во второй день

выставку посетило на 90 человек больше, чем в первый.

Схема 2 соответствует условию задачи: верхний отре&

зок обозначает количество людей, побывавших на выстав&

ке во второй день, средний отрезок — в первый день, ниж&

ний — в третий.

В дополнение к проверке решения задачи советуем

предложить классу подумать, на какие еще вопросы мож&

но ответить, пользуясь данным условием. (На сколько боль&

ше людей посетило выставку в первый день, чем в третий?

Сколько человек посетило выставку во второй и в третий

день? И т. д.)

Задача № 124 подходит для самостоятельной работы

(10–15 мин). Дети читают задачу про себя, пользуются ука&

занием «Нарисуй схему …», записывают решение. Учи&

тель наблюдает за работой, оказывает индивидуальную

помощь и фиксирует на доске допущенные ребятами

ошибки.

Например, он может нарисовать на доске неверные

схемы:

1 2

8 1

При обсуждении задачи ученики находят ошибки.

Правильная схема выглядит так:

Можно зафиксировать на доске и ошибки, связанные с

записью решения задачи. Например:

1) 35 + 15 = 50 (кг);

2) 110 – 50 = 60 (кг);

3) 60: 3 = 20 (кг).

Важно, чтобы не менее 10 минут дети работали самосто&

ятельно. Только после этого рекомендуем проанализировать

схемы и решения задачи (неверные), записанные на доске.

Потом опять дать учащимся время для самостоятельной за&

писи решения задачи, которая должна выглядеть так:

1) 35 + 15 = 50 (кг) – на столько в первом ящике боль&

ше, чем в третьем;

2) 50 + 15 = 65 (кг) – на столько в первом и во втором

ящиках больше, чем в третьем;

3) 110 – 65 = 45 (кг) – было бы в трех ящиках, если бы

в первом и втором было столько же, сколько в третьем;

4) 45: 3 = 15 (кг) – в третьем ящике;

5) 15 + 15 = 30 (кг) – во втором ящике;

6) 30 + 35 = 65 (кг) – в первом ящике.

Задачу № 123 советуем прочитать в классе, выбрать и

обсудить схему, которая ей соответствует, а решение ее

задать на дом.

На дом: № 122 а), б); № 123.

Урок 11 (№ 120, 121)

Цель — рассмотреть случаи деления с остатком на

10, 100, 1000. Совершенствовать знания о делении с ос_

татком.

8 2

Для достижения первой цели учитель ориентируется

на задание № 120, в котором описаны два способа действия.

Дети могут и сами предложить любой из них, поэтому сна&

чала стоит выслушать их предположения, а затем срав&

нить с рассуждениями Миши и Маши, приведенными в

учебнике. Следует также обсудить, в каких случаях мож&

но пользоваться обоими способами, а в каких — только

одним.

Например, ребятам будут понятны такие записи:

_ 65 10 _ 92 10 _ 365 100

60 6 90 9 300 3

5 ост. 2 ост. 65 ост.

_ 492 100 _ 5365 1000 _ 6492 1000

400 4 5000 5 6000 6

92 ост. 365 ост. 492 ост.

Здесь они могут подбирать неполное частное, т. к. оно

содержит одну цифру, а могут выяснять, сколько десят&

ков, сотен или тысяч содержится в делимом.

Так как выполнять деление «уголком» для случаев:

_ 125 10 _ 4125 100

10 12 400 41

_ 25 _ 125

20 100

5 ост. 25 ост. и т. д.

они пока не умеют, поэтому здесь возможно только выде&

лить количество десятков сотен или тысяч в делимом.

Рекомендуем включить в урок задание № 121, хотя его

обсуждение может занять на уроке много времени. (Такая

возможность есть, т. к. у большинства детей умение делить

с остатком уже будет сформировано.)

Для выполнения задания необходимо тщательно про&

думать организацию деятельности учащихся. В противном

случае им будет сложно систематизировать те признаки,

которые лежат в основе составления записей в каждом

столбце. Приведем один из возможных вариантов.

8 3

Сначала учитель может предложить детям проанали&

зировать способ составления записей в первом столбце.

Он обращается к классу: «Давайте разгадаем правило, по

которому составлены записи в первом столбце». Большин&

ство ребят легко справляются с этим заданием по отноше&

нию ко второму равенству. (Оно получено из первого. Зна&

чение произведения разделили на первый (или второй)

множитель — получили второй (или первый) множитель.)

Значит, способ получения второго равенства можно сфор&

мулировать так: «Нужно значение произведения разделить

на один множитель (любой: первый или второй) и получить

другой множитель». Большинство детей обращают внима&

ние на то, что во всех столбцах остатки одинаковые, кроме

пункта д). Однако вряд ли они смогут самостоятельно

объяснить этот факт.

Поэтому следует обсудить третье равенство в пункте д)

и обратить внимание детей на то, что число, которое при&

бавляется к произведению, меньше каждого множителя,

исключение составляет пункт д). Выделив в качестве

«лишнего» столбец с разными остатками, ребята могут про&

верить: если при составлении третьего равенства к произ&

ведению прибавить число, меньшее, чем каждый множи&

тель, то получаются одинаковые остатки. Если же это число

больше одного из множителей, то остатки получатся раз&

ные. Интересно проверить случай, когда число, на кото&

рое увеличивают произведение, будет больше одного и дру&

гого множителя.

Предшествующая работа позволит ученикам высказать

правильное предположение: число, на которое увеличили

произведение в третьем равенстве, меньше одного множи&

теля, но больше другого. Это предположение полезно

затем проверить, составляя столбцы равенств из выраже&

ний, предложенных в конце задания № 121 или приду&

манных учителем.

На дом: № 79 г), № 80 из ТПО № 1.

8 4

Урок 12 (126–130)

Цель — совершенствовать умение решать задачи.

Советуем весь урок посвятить решению задач. Проду&

мывая содержание урока, можно ориентироваться: на за_

дачи № 126–130 из учебника и на задачи, предложенные

в пособии: Истомина Н.Б., Шмырева Г.Г. Контрольные

работы по математике. 4 класс.

Приведем некоторые задачи из этого пособия.

Контрольная работа № 4 (с. 34)

Первый уровень. Вариант I

1. В трех одинаковых ящиках лежит 120 кг яблок.

Сколько нужно таких ящиков, чтобы расфасовать 400 кг

яблок?

2. В трех домах 2870 жильцов. В первом доме

840 жильцов, во втором — на 270 жильцов больше,

чем в первом. Сколько жильцов в третьем доме?

3. Ширина классной комнаты прямоугольной фор/

мы 8 м. Найти периметр класса, если его площадь

96 м2.

Второй уровень. Вариант I

1. Двум столярам нужно было починить 50 парт.

Когда первый столяр починил 5 парт, а второй 7 парт,

то им осталось починить парт поровну. Сколько парт

надо было починить каждому столяру сначала?

2. Во сколько раз больше карандашей в коробке,

чем в пенале, если в коробке 42 карандаша, а в пяти

одинаковых пеналах 35 карандашей?

3. Найти периметр квадратного листа бумаги, из

которого вырезали наибольший круг радиусом 8 см.

8 5

Третий уровень. Вариант I

1. Бублик и батон стоят вместе 11 р., а батон и

два бублика стоят 17 р. Какова цена батона и цена

бублика?

2. Туристы шли пешком три дня. В первый день

они прошли половину пути, во второй — половину

оставшегося пути, а в третий день — оставшиеся

4 км. Какова длина всего пути?

Нарисуй схему и реши задачу.

3. Сколько потребуется досок длиной 6 м и шири/

ной 20 см, чтобы застелить пол в помещении, длина

которого 8 м, а ширина 6 м?

Напоминаем, что как обычно оцениваются задания пер&

вого уровня. За решение задач второго и третьего уровней

выставляются только положительные отметки.

Задачи № 127, 128, 129 рекомендуем обсудить в классе.

Для предупреждения появления ошибок при решении

задачи № 126 советуем __________использовать прием выбора схе&

мы, соответствующей условию задачи. Можно, например,

предложить такие схемы:

Чтобы правильно выбрать схему, ребята должны знать:

периметр прямоугольника включает в себя две длины и две

ширины. Поэтому подходит схема 2, где сумма длины и

ширины равна 35.

Для облегчения выбора схемы советуем нарисовать на

доске прямоугольник и обвести синим цветом его длину и

ширину, а потом выяснить, известна ли их сумма (нет, ее

нужно найти, разделив 70 на 2).

1 2

8 6

Пользуясь схемой, ученики легко найдут ширину пря&

моугольника, его длину и затем площадь.

1) 70: 2 = 35 (см) — длина и ширина;

2) 35 – 15 = 20 (см) — две ширины;

3) 20: 2 = 10 (см) — ширина;

4) 25 · 10 = 250 (см2) — площадь.

Осознанному решению задачи № 128 поможет следу&

ющая работа. Сначала надо нарисовать схему, на которой

будет видно, сколько кустов обрабатывали бабушка, мама

и дочка за одно и то же время.

Затем нужно изобразить на схеме, сколько кустов ус&

пеют обработать дочка и мама, пока бабушка обработает

20 кустов.

Анализируя схемы, дети легко ответят на этот вопрос

(если бабушка обрабатывает 20 кустов, то дочка — 24, а

мама — 34).

Можно продолжить аналогичные рассуждения, выяс&

нив, сколько кустов обработают мама и дочка, если бабуш&

ка обработает 30 кустов.

Далее возможны вопросы:

— Если количество кустов, обработанных бабушкой,

увеличилось в 2 раза, то во сколько раз увеличилось количе&

ство кустов, обработанных мамой и дочкой? (Ориентируясь

на схему 2, ученики без труда ответят на этот вопрос.)

— А если количество кустов, обработанных бабушкой,

увеличилось в 3 раза, то во сколько раз увеличилось коли&

2

1

8 7