Решения

1) .

1. Используем признак Даламбера. Составим предел отношения последующего члена ряда к предыдущему и потребуем, чтобы он был по модулю меньше единицы.

. Теперь потребуем, чтобы откуда . Получаем интервал значений х, в котором ряд сходится .

2. Проверяем сходимость ряда на концах интервала. Для этого подставляем значения в исходный ряд, получаем числовой ряд и исследуем его сходимость одним из признаков сходимости числовых рядов.

А) При имеем ряд = . Данный ряд сходится как обобщенный гармонический с показателем .

Б) При имеем ряд = = . Данный ряд сходится абсолютно, т. к. сходится соответствующий знакоположительный ряд.

3. Вывод: оба конца интервала принадлежат интервалу сходимости, т.е. ряд сходится в закрытом интервале .

2) . Воспользуемся признаком Даламбера.

. Предел равен нулю для любых значений х, поэтому ряд сходится на всей числовой прямой .

3) . По признаку Даламбера = =

= = . Ряд расходится на всей числовой оси, кроме одной точки .

4. Разложить данную (под номером N_{4 )} функцию в ряд Тейлора в заданной точке х₀ и определить радиус сходимости полученного ряда, если:

1) , х₀=1; 2) , х₀=-3; 3) , х₀=4; 4) , х₀=3.