Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Если степенной ряд сходится при х=х1, то он сходится для всех .
Если степенной ряд расходится при х=х2, то он расходится для всех .
Из теоремы Абеля следует, что существует такое значение , что для степенной ряд сходится, а для расходится.
Это число R называется радиусом сходимости степенного ряда.
Интервал называется интервалом сходимости.
Ряд вида
называется степенным рядом общего вида. Для такого ряда интервал сходимости опрделяется неравенством , то есть интервал сходимости: .
Радиус сходимости может быть равен нулю, и тогда ряд сходится только в одной точке, но может быть и неограниченно большим . В последнем случае ряд сходится на всей числовой оси.
Для нахождения интервала сходимости степенного ряда удобно пользоваться достаточными признаками сходимости знакоположиельных рядов и, в частности, признаками Даламбера и Коши. В соответствии с этими признаками степенной ряд сходится, если
или .
Эти условия и применяются для нахождения интервала сходимости степенного ряда.
Отметим, что нахождение интервала сходимости также включает и проверку сходимости ряда на концах полученного интервала.
Замечание. При нахождении интервала сходимости рядов, содержащих выражения типа , и т.п. можно предварительно упростить выражение для общего члена ряда, используя таблицу эквивалентных бесконечно малых величин. Если же в выражение для общего члена ряда входят , , таблицей эквивалентных бесконечно малых величин пользоваться нельзя, так как аргумент не является бесконечно малой величиной. В таких случаях полезными могут оказаться оценки: , , .
Таблица эквивалентных бесконечно малых величин.
Дата публикования: 2015-04-10; Прочитано: 216 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!