Вспомогательные вычисления

Методики	Слабое	Удовлетворительное	Хорошее
Первая	(8-10,85)2/8	(12-9,82)2/12	(11-10,33)2/11
Вторая	(13-10,15)2/13	(7-9,18)2/7	(9-9,67)2/9

1,01+0,40+0,04+0,63+0,68+0,05=2,81

3. По таблице критических точек распределения хи-квадрат, по заданному уровню значимости a и числу степеней свободы k=(n-1)×(m-1), найти критическую точку .

В данном случае число степеней свободы k = (3-1)×(2-1)=2

Возьмем уровень значимости a равным 0,05. Тогда (0,05; 2)= 5,99.

4. «Сравнение с критической точкой»: если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если – нулевую гипотезу отвергают.

Поскольку 2,81 < 5,99, то на уровне значимости 0,05 мы можем считать эффективность обучения независящей от методики преподавания. «Гипотезу не отвергаем». n

Замечание: этот критерий применяется для выборок с объемом не менее 50. Каждая группа должна содержать не менее 5 вариант.

Рассмотрим еще одну задачу типа 1.

Пример 6.4.

Приведены результаты психологического теста (в баллах) для 22 женщин:
25, 52, 44, 54, 44, 12, 47, 12, 20, 47, 13, 49, 11, 76, 41, 68, 60, 28, 42, 23, 39, 17
и 19 мужчин:

50, 38, 21, 80, 42, 88, 57, 67, 57, 25, 90, 67, 12, 22, 81, 63, 35, 35, 37.

Зависят ли результаты тестирования от пола?

Содержательное предположение: результаты тестирования от пола не зависят. Статистическая гипотеза: распределение результатов тестирования в группе женщин не отличается от распределения результатов тестирования в группе мужчин. Но если эти распределения не различаются, значит, их средние и дисперсии также не различимы. Таким образом, имеем две статистические гипотезы: гипотезу о равенстве средних и гипотезу о равенстве дисперсий.

Следующие критерии справедливы для выборок из нормальных генеральных совокупностей.

Критерий Стьюдента применяется для сравнения средних двух нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых одинаковы, но неизвестны.

При заданном уровне значимости проверяется нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий (генеральных средних) двух нормальных совокупностей с одинаковыми, но неизвестными дисперсиями при альтернативе их неравенства.

Правило проверки нулевой гипотезы:

1. Вычислить наблюдаемое значения критерия:

,

где n и m – объемы выборок, и – выборочные средние, а и – исправленные дисперсии.

В условиях Примера 6.4 n = 22, m = 19, » 37,45; » 50,89; » 362,83; » 569,77; Т_набл» - 2.

2. По таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости и числу степеней свободы k=n+m-2 найти критическую точку (двустороннюю) – t.

В условиях Примера 6.4 k= 39; по таблицам для уровня значимости 0,1 и 39степеней свободы находим t = 1,68.

3. Если | Тнабл| > t, нулевую гипотезу отвергают на данном уровне значимости. В противном случае нулевая гипотеза не противоречит имеющимся наблюдениям, т.е. нет оснований отвергнуть гипотезу. n

В условиях Примера 6.4 |-2|>1,68, следовательно, гипотезу о равенстве средних отвергаем на уровне значимости 0,1.

Критерий Фишера-Снедекора используется для проверки при данном уровне значимости g нулевой гипотезы о равенстве генеральных дисперсий (т.е. дисперсий генеральных совокупностей) при конкурирующей гипотезе неравенства этих дисперсий.

Правило проверки нулевой гипотезы:

1. Вычислить наблюдаемое значение критерия – отношение большей по величине исправленной дисперсии (см. стр.) к меньшей: F_набл = s₁²/s₂²

В условиях Примера 6.4 s₂² = » 362,83; s₁² = » 569,77; F_набл» 1,57.

2. Найти число степеней свободы исправленных дисперсий:

k₁= n₁ - 1 (большая) (n₁ – объем выборки, имеющей большую исправленную дисперсию)

k₂ = n₂ - 1 (меньшая) (n₂ – объем выборки, имеющей меньшую исправленную дисперсию).

В условиях Примера 6.4 k₁= 18, k₂= 21.

3. По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора по уровню значимости g/2 (вдвое меньше требуемого в условии уровня значимости g) и числам степеней свободы k₁ и k₂ найти F_кр – критическую точку.

Положим g=0,1. В условиях Примера 6.4 F_кр = число между 2,15 и 2,09.

4. Если F_набл<F_кр – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Если F_набл>F_кр – нулевую гипотезу отвергают. n

В условиях Примера 6.4 F_набл<F_кр (1,57 < 2,09). Значит, нет оснований отвергать гипотезу о равенстве дисперсий.