Элементы теории случайных процессов

Основные понятия

Случайный процесс – это функциональное всюду определенное отображение, областью отправления которого является пространство элементарных событий W, а областью прибытия множество действительных функций, аргумент которых рассматривается как время.

Случайный процесс, таким образом, можно записать в виде X(t,w) – функции времени t и элементарного события wÎ W, появляющегося в результате испытания.

При фиксированном значении аргумента t=t₀ эта функция становится случайной величиной X(t₀,w), которая называется сечением случайного процесса в момент t₀. При различных значениях t₀ соответствующие сечения (случайные величины) в общем случае различны, хотя и зависимы.

Случайный процесс можно также рассматривать как функцию времени (процесс), которая в результате испытания (w=w₀) может принять неизвестный заранее вид x(t)=X(t,w₀). Неслучайная функция x(t) называется реализацией или траекторией случайного процесса X(t,w).

Далее для краткости будем обозначать случайный процесс X(t), опуская аргумент w.

Поскольку сечения случайного процесса при любом данном t являются случайными величинами, то существуют функции распределения F(x,t)= Pr (X(t)<x).

Если F(x,t) рассматривать как двухмерную функцию, то она дает достаточно общее, хотя и не очень конструктивное описание случайного процесса X(t).

Для более компактного описания случайных процессов используют обобщения числовых характеристик случайных величин.

Математическим ожиданием случайного процесса X(t) называется неслучайная функция mx(t), которая при любом значении переменной t равна математическому ожиданию соответствующего сечения этого случайного процесса, т.е. mx(t)=M[X(t)].

Дисперсией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция dx(t), которая при любом значении переменной t равна дисперсии соответствующего сечения этого случайного процесса, т.е. dx(t)=D[X(t)].

Среднее квадратическое отклонение случайного процесса X(t) определяется формулой .

Математическое ожидание случайного процесса характеризует его среднюю траекторию, а дисперсия, как и среднее квадратическое отклонение, – разброс реализаций относительно средней траектории.

Введенные характеристики не отражают степень зависимости между значениями случайного процесса в различные моменты времени. Чем быстрее меняются траектории реализаций случайных процессов, обладающих одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями, тем меньше зависимость между их сечениями в моменты времени t1 и t2 (рис. 7.1 и 7.2). Для случайного процесса X₁(t), изображенного на рис. 7.1, характерна большая вероятностная зависимость между сечениями X₁(t₁) и X₁(t₂), а для сечений X₁(t₁) и X₁(t₂) случайного процесса X₂(t) она пренебрежимо мала.

Рис. 7.1 Рис. 7.2

Степень линейной зависимости случайных величин, которыми являются сечения случайных процессов, можно характеризовать их ковариацией и коэффициентом корреляции (см. гл. 6). Степень зависимости различных сечений случайного процесса характеризуется корреляционной функцией.

Корреляционной функцией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция двух переменных

K_x(t₁,t₂)=M[(X(t₁)- mx(t₁)) (X(t₂)- mx(t₂))].

Корреляционная функция K_x(t₁,t₂) характеризует не только величину линейной зависимости между двумя сечениями случайного процесса, но и величины σx(t₁) и σx(t₂) разброса этих сечений относительно их математических ожиданий mx(t₁) и mx(t₂). Поэтому используют также нормированную корреляционную функцию случайного процесса X(t).