Частные производные

Будем предполагать, что действительная функция двух переменных f: X ´ Y® Z задана в некоторой окрестности точки (x₀, y₀). Придадим переменной х произвольное приращение D х, оставляя значение второго аргумента фиксированным, y = y₀. Соответствующее приращение функции обозначим через D _хz,

D _xz = f(x₀ + D x, y₀) – f(x₀, y₀).

Аналогичным образом можно построить приращение функции по переменной y при фиксированном значении х = х₀:

D _yz = f(x₀, y₀ + Dy ) – f(x₀, y₀).

Если существует предел , то он называется частной производной функции f(x, y) = z в точке (х₀, y₀) по переменной х (соответственно, y)

Частная производная по x (y) обозначается так:

.

Из определения частной производной следует, что при ее вычислении, скажем, по переменной х вхождение в формулу функции f(x, y) переменной y следует рассматривать как некоторую константу, т.е. дифференцировать функцию f(x, y) как функцию одной переменной х. Аналогично при вычислении частной производной по переменной y переменную х следует рассматривать как константу.

Пример 1.11.

1)

2) n

Проиллюстрируем геометрический смысл частных производных. С этой целью рассмотрим уравнение F(x, y) = 0, с помощью которого задаются кривые на плоскости " x, y ", вид которых зависит от вида функции F(x, y). Например, формула x² + y² –1 =0, F(x, y) = x² + y² –1, задает окружность единичного радиуса с центром в начале координат; уравнение прямой имеет вид ax + by + c = 0 и т.д.

Двумерный вектор ÑF с координатами называется градиентом функцииF; его значениев точке (x₀, y₀) определяется через вычисление значений обеих частных производных F'_x, F'_y, т.е. F'_x(x₀,,y₀), F'_y(x₀, y₀). Поскольку компоненты вектора ÑF является функциями, то градиент называется вектор – функцией двух переменных и записывается как ÑF(x, y) = (F'_x(x, y), F'_y(x, y)).

Геометрически вектор Ñ F(x_0, y₀) задает направление нормали ккривой F(x,y)=0 в точке M₀(x₀, y₀), т.е. направление, перпендикулярное к касательной в этой точке (см. рис.1.14.).

Уравнение нормали к кривой F(x,y)=0 в точке M₀(x₀, y₀) задается из соображений, что вектор, начинающийся в точке M₀(x₀, y₀) и заканчивающийся в произвольной точке M(x, y) нормали, т.е. вектор М₀М, получается умножением градиентаÑ F(x₀, y₀), на произвольное число k:

M₀M = k ×ÑF(x₀, y₀).

Отсюда (если F'_x(x₀, y₀) ¹ 0 и F'_y(x₀, y₀) ¹ 0) можно записать в координатной форме

,

или, освобождаясь от k, получаем окончательный вид уравнения нормали

, , .

Если же , а , то уравнение нормали имеет вид х = х₀, т.е. нормаль параллельна оси ординат; при и уравнение нормали имеет вид y = y₀, т.е. нормаль параллельна оси абсцисс. Точки, в которых Ñ F(x_0,y₀)=0, называются особыми; в них нормаль к кривой F(x, y) = 0 не определена.

Уравнение касательной к кривой F(x, y) = 0 в неособой точке M0(x0, y0), т. е. точке, для которой ÑF(x0,y0)¹ 0, выводится из соображений, что вектор, начинающийся в точке M0(x0, y0) и заканчивающийся в произвольной точке N(x, y) касательной, т.е. вектор M₀N (см. рис. 1.14.) перпендикулярен вектору Ñ F(x_0,y₀), т.е. их скалярное произведение равно 0:

(ÑF(x_0,y₀), M₀N) = 0.

В координатной форме получаем уравнение касательной в виде

F'_x(x₀, y₀) × (x – x₀) + F'_y (x₀, y₀) × (y – y₀) =0.

Рассмотрим частный случай, когда кривая задана в форме, разрешенной относительно y, т.е. y = f(x). Формально можно написать, что

f(x) –y = 0, т.е. F(x, y) = f(x) – y.

Отсюда F'_x = f'(x), F'_y = -1 и уравнение нормали примет вид

,

а уравнение касательной примет такой вид:

f'(x₀) × (x - x₀) + (y₀ – y) = 0.

Пример 1.12.

Выпишем уравнения касательной и нормали к следующим кривым на плоскости.

1) xy – y⁵ – 5 = 0 в точке (x₀ = 6, y₀ =1); это пример общего случая F(x, y) = 0. Имеем: F'_x = y, F'_y = x – 5y⁴; F'_x(x₀, y₀) = 1, F'_y(x₀, y₀) = 6 – 5 = 1.

Уравнение нормали: или y = х - 5.

Уравнение касательной: 1× (x-6) + 1× (y – 1) =0 или y = -х + 7.

2) y = sinx в точке (x₀ = p, y₀ = 0). Это пример частного случая y = f(x).

Имеем: f'(x) = cosx; f'(x₀) = - 1.

Уравнение нормали: или y = х - p.

Уравнение касательной: (-1)(x-p) + (0 – y) = 0 или y = -х + p

На рис. 1.15. изображены касательная и нормаль к графику функции y(x) = sin x в точке (p, 0) n

1.9. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ

Экстремум функции нескольких переменных определяется аналогично экстремуму функции одной переменной, т.е. это либо ее наибольшее значение – максимум, либо наименьшее – минимум.

Точка (x₀, y₀) называется точкой локального экстремума (максимума или минимума) для функции f(x,y), если существует такая d-окрестность точки (х₀, y₀), т.е. множество {(x,y): , d > 0}, для которой значение функции f(x₀, y₀) является экстремальным (максимальным или минимальным), т.е. f(x₀, y₀) ³ f(x, y) (f(x₀, y₀) £ f(x, y)) для всех точек (x, y) из d - окрестности.

Необходимое условие локального экстремума функции f(x, y) в точке (x₀, y₀) заключается в равенстве нулю ее частных производных в этой точке, т.е. f'_x(x₀, y₀) = f'_y(x₀, y₀) = 0.n

Определенный выше локальный экстремум иногда называют безусловным экстремумом в отличие от экстремума условного.

Условным экстремумом заданной функции f нескольких переменных называют максимальное или минимальное ее значение, достигаемое при условии, что на ее переменные наложены некоторые ограничения, задаваемые, как правило, в функциональной форме. Простейшим примером задач на условный экстремум является задача линейного программирования, рассмотренная в разделе 6 первой части пособия. В задаче линейного программирования условный экстремум линейной функции ищется для ограничений, заданных в форме линейных неравенств.

Здесь мы рассмотрим нелинейную задачу на условный экстремум, решаемую методом множителей Лагранжа. Для определенности ограничимся случаем функций двух переменных. Требуется найти максимум (минимум) функции f(x, y) при ограничении g(x, y) = b. Геометрически эта задача означает следующее (рис.1.16). На подмножестве множества определения функции f(x, y), определяемом как {<x, y>: g(x, y) = b}, т.е. на кривой g(x, y) = b в плоскости " x, y ", найти точки экстремумов этой функции. В нашем примере таких экстремальных точек две. Одна из них ‑ точка А – соответствует максимальному значению М функции f (x, y) на контуре s, другая ‑ точка B – соответствует минимальному значению m этой функции на контуре s. Контур s выделяется на графике S функции f(x,y) как образ кривой, определяемой уравнением g(x, y) = b, относительно отображения f.

Точки А и В ищутся следующим образом. Составляется функция Лагранжа в виде

L(x, y, l) = f(x, y) + l×[b – g(x, y)],

где l – так называемый множитель Лагранжа, некоторое действительное число, подлежащее определению.

Для функции трех переменных L(x, y, l) выписываются необходимые условия существования локального безусловного экстремума

,

,

.

Из этой системы трех уравнений для трех неизвестных определяются точки (x^*, y^*, l^*), претендующие на то, чтобы быть точками условного экстремума функции f(x, y) при ограничении g(x, y)=b. Характер экстремальности (максимум или минимум) определяется прямой проверкой – расчетом значений исходной функции f(x, y) в экстремальных точках. Если экстремальная точка одна, то значение функции f(x, y) в ней сравнивается со значением функции в любой другой допустимой точке.

Пример 1.13.

1) Найти условные экстремумы функции f(x, y) = (x + 0,5)² + (y + 0,5)² при ограничении g(x, y) = x² + y² = 1.

Будем решать задачу методом множителей Лагранжа.

Функция Лагранжа имеет вид L(x, y, l) = (x + 0.5)² + (y + 0.5)² + l(1 – x² – y²), необходимые условия экстремума для нее запишутся как

,

,

.

Из первых двух условий получаем ; подставляя в третье уравнение, имеем , т.е. , .

Окончательно получаем две условные экстремальные точки:

, ;

, .

Поскольку f(x₁, y₁) > f(x₂, y₂), то A = (x₁, y₁) – точка условного максимума, причем M = f(x₁, y₁) = 1.5 + , а B = (x₂, y₂) – точка условного минимума, причем m = f(x₂, y₂) = 1.5 - .

2) Найти условный экстремум той же самой функции f(x, y), что и в предыдущем примере, но при ограничении g(x, y) = 2y – x = 1.

Решим эту задачу методом множителей Лагранжа. Функция Лагранжа имеет вид L(x, y, l) = (x + 0.5)² + (y + 0.5)² + l(1 - 2y +x), необходимые условия экстремума для нее дают систему трех уравнений:

Из первых двух уравнений получаем , подставляя эти выражения в третье уравнение, имеем 1 - 2l + 1 – 0.5 - =0, откуда l = 0.6 – единственное решение. Окончательно получаем единственную условную экстремальную точку:

x₀ = - 0.3 – 0.5 = - 0.8,

y₀ = - 0.5 + 0.6 = 0.1;

f(x₀, y₀) = (0.1 + 0.5)² + (-0.8 + 0.5)² = 0.36 + 0.09 = 0.45.

Чтобы убедиться, что точка В (-0.8, 0.1) является точкой условного минимума функции f(x, y) при ограничении 2y –x = 1, возьмем любую точку на этой прямой, например, точку (-1, 0). Вычислим f(-1, 0) = (0.5)² + (-1 + 0.5)² = 0.5, что больше, чем f(x₀, y₀). Следовательно, точка условного экстремума В (- 0.8, 0.1) является точкой условного минимума. n