![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рассмотрим действительную функцию y = f(x), определенную в некоторой окрестности точки х0. Обозначим через Dх =х – х0 приращение аргумента, а через Dy =f(х0 + Dх) – f(x0) – приращение функции, соответствующее этому приращению аргумента.
Если существует предел ,
то он называется производной функции f в точке х0 и обозначается как ,
.
Операция вычисления производной называется дифференцированием. Если производная – конечна, функция называется дифференцируемой в точке х0. Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой в промежутке.
Дадим геометрическое истолкование производной. В прямоугольной системе координат (см. рис. 1.4) изобразим график функции y = f(x), соответствующийнекоторой окрестности точки х0. Точка М (х0, y0 = f(x0)) является заданной, а точка N (x, y = f(x)) – произвольной точкой графика. Линия МN – секущая, она образует угол b с осью х, причем
Предельное положение секущей при D х ®0 будет соответствовать касательной МР к графику функции f в точке М. Касательная образует с осью х угол a, так что
Иными словами, график y = f(x) имеет в точке М = М(x0 ,,y0) касательную тогда и только тогда, когда существует производная функции f в точке х0, причем
tga = f'(x0).
Дифференцируемая в точке х0 функция с необходимостью непрерывна в этой точке. Обратное неверно ‑ существуют непрерывные функции, не имеющие производных ни в одной точке своей области определения. n
Приведем таблицу производных элементарных функций:
1) ,
;
2) , a=const;
3) , a=const>0, a¹1;
4) ; a=const>0, a¹1;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) .
Существуют следующие общие правила дифференцирования комбинаций дифференцируемых функций:
1) , c=const;
2) ;
3) ;
4) ;
5) , т.е. производная от суперпозиции функций f и g равна произведению их производных по соответствующим аргументам;
6) если y = f(x) и x = g(y) – две взаимно обратные функции и y0 = f(x0), то n
Если в точке х0 существует предел для функции y = f(x)
,
то он называется правосторонней производной функции y = f(x) в точке x0.
На рис. 1.5 в точке М(х0,y0) имеем .
Аналогично определяется левосторонняя производная
.
Функция f имеет в точке х0 производную, если значения обеих односторонних производных в этой точке совпадают, причем в этом случае
.n
Если же , то говорят о наличии в точке М (х0,y0) двух полукасательных – правосторонней с углом a и левосторонней с углом b, а сама точка М (х0,y0) называется угловой.
Пример 1.6.
Для функции f(x) = abs (x), определяемой как f(x) = x при х ³ 0 и f(x) = -x при х < 0, в точке 0 имеем
,
.
Поскольку f-'(0) ¹ f+'(0), то 0 – угловая точка для функции abs (x).n
Производную f'(x) называют также первой производной или производной первого порядка функции f(x). Рассматривая ее как функцию в некотором интервале значений аргумента х, можно говорить о ее производной, которую называют производной второго порядка или второй производной исходной функции f и обозначают как и т.д.
Вообще, n-ая производная или производная n-ого порядка определяется индуктивно как
.
Для нее наряду с f (n)(x) используется обозначение n ³ 2.
Производные используют при вычислении пределов функций для раскрытия так называемых неопределенностей. Рассмотрим случай, когда требуется определить , а функция f(x) имеет вид
,
причем , т.е. имеет место неопределенность вида
. Если функции f1 и f2 дифференцируемы, то можно воспользоваться правилом Лопиталя:
.
Если опять и мы снова получаем неопределенность вида
, то можно воспользоваться вторыми производными, т.е.
.
Если и здесь получается неопределенность вида , то можно переходить к пределам третьих производных и т.д.
Правило Лопиталя можно применять и для раскрытия неопределенностей вида .
Пример 1.7.
1) Вычислить . Здесь неопределенность вида
. Используем правило Лопиталя.
.
2) Вычислить
. Ясно, что имеем неопределенность вида
. Воспользуемся правилом Лопиталя; это придется сделать дважды.
n
Дата публикования: 2014-10-25; Прочитано: 1005 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!