![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
7.7.1. Паралельність прямих.
Дослідження взаємного розташування двох прямих в просторі вимагає комплексного застосування апарату векторної алгебри. Розглянемо випадок, коли прямі задані своїми канонічними рівняннями. Отже, нехай
Знаменники дробів – це відповідні координати направляючих векторів прямих. Прямі паралельні тоді і тільки тоді, коли їх направляючі вектори колінеарні, звідки
.
7.7.2. Умова перетину просторових прямих.
Нехай тепер прямі непаралельні. Тоді вони або мимобіжні, або перетинаються. Розглянемо малюнок
З рівнянь прямих ми отримуємо інформацію про направляючі вектори прямих та про точки, що їм належать. Оскільки вектори в аналітичній геометрії є вільними, можна вважати, що їх початки співпадають з відповідними точками. Сполучимо ці точки і утворимо вектор . Очевидно, що прямі перетинаються тоді і тільки тоді, коли вони лежать в одній площині (це з урахуванням того, що прямі, за припущенням, непаралельні), а отже, тоді і тільки тоді, коли вектори
є компланарними, тобто, тоді і тільки тоді, коли їх змішаний добуток дорівнює 0, остаточно
.
7.7.3. Знаходження пари найближчих точок на мимобіжних прямих.
Нехай тепер прямі і не паралельні, і не перетинаються, тобто вони мимобіжні. Тоді виникає важливе питання про знаходження пари найближчих точок на цих прямих. Геометричні міркування доводять, що така пара точок існує, і ці точки є кінцевими точками спільного перпендикуляра до цих прямих – на малюнку це перпендикуляр PQ:
Це поки що, так би мовити, „чиста” геометрія. Переходимо до аналітичної геометрії.
З рівнянь прямих ми отримуємо інформацію про координати точок, які належать прямим, та про координати векторів, паралельних даним прямим:
.
Пам’ятаємо, що вектори в аналітичній геометрії вільні (їх можна вільно переносити куди завгодно, але паралельно й зі збереженням довжини), отже, маємо право вважати, що направляючі вектори прямих лежать на цих прямих і, більше того, виходять з точок відповідно А1 і А2:
Якщо прямі і
і не паралельні, і не лежать в одній площині, то вони мимобіжні, лежать в паралельних площинах, і на кожній з них існує по одній-єдиній точці, які разом утворюють пару найближчих точок – ці точки є кінцевими точками спільного перпендикуляру до цих прямих.
Кожну точку з пари найближчих точок знаходимо послідовно, перекладаючи на аналітичну мову відповідні геометричні побудови.
Точка P, що належить прямій , є точкою перетину прямих
і
. Пряма
є проекцією прямої
на площину
. Ця площина проходить через пряму
і паралельна прямій
; отже ця площина однозначно визначається умовами: точка
. Таким чином, за нормальний вектор
цієї площини можна взяти векторний добуток
і скласти рівняння цієї площини, маючи точку і нормальний вектор. Тепер увага: нашою метою є знаходження координат точки Р, а вона є точкою перетину прямої
з проектуючою площиною
, яка проектує пряму
на площину
:
Ця проектуюча площина проходить через пряму
, а отже вона містить точку
і направляючий вектор
паралельний цій площині. Оскільки
є проектуючою площиною, то вона є перпендикулярною до площини
, а отже нормальний вектор площини
має бути паралельним площині
. Таким чином, проектуюча площина
визначається такою інформацією:
.
Ми знову приходимо до можливості скласти рівняння площини , маючи точку і нормальний вектор, а саме:
і
. Приходимо до задачі знаходження точки перетину прямої і площини, розглянутої в §2.
Точку Q знаходимо аналогічними, точніше сказати, двоїстими, міркуваннями.
Дата публикования: 2014-10-25; Прочитано: 5502 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!