Застосування змішаного добутку

Очевидне застосування змішаного добутку безпосередньо визначається його означенням: обчислення об’єму паралелепіпеда. При цьому можна розглянути різні варіанти задання паралелепіпеда. Використовуючи зв’язок між об’ємами паралелепіпеда, призми і піраміди, можна використовувати змішаний добуток і для обчислення об’єму призми і піраміди:

З-поміж інших різноманітних застосувань змішаного добутку ми розглянемо одне з найважливіших: рівняння площини, що проходить через три задані точки.

Нехай є три точки: У §6, використовуючи векторний добуток, ми отримали рівняння площини у такому вигляді:

Легко побачити, що ліва частина цього рівняння є скалярним добутком вектора і вектора , де — біжуча точка площини. Отже, за означенням, ліва частина розглядуваного рівняння є змішаним добутком:

.

Саме ж рівняння виражає умову компланарності векторів . Використовуючи координатне подання змішаного добутку у детермінантній формі (через визначник третього порядку), отримуємо:

.