 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Нехай маємо три площини
|
|
,
,
.
Знаходження точки перетину площин зводиться до розв’язання СЛР, складеної з рівнянь цих площин, тобто квадратної СЛР з трьох рівнянь з трьома змінними
Далі ми будемо робити аналогічні перетворення, як і для СЛР 2х2, тобто такі, які виключають з рівнянь певну змінну. В результаті будуть отримані формули Крамера і сформульоване правило Крамера, які цілком аналогічні формулам і правилу Крамера для СЛР 2х2. Перед виконанням перетворень перенесемо вільні члени в праву частину рівнянь, перепозначивши їх (для позбавлення знаків „ - ”) іншими буквами:
За допомогою 1-го рівняння виключаємо змінну х з 2-го і 3-го рівнянь перетвореннями:
Маємо:
Друге і третє рівняння не містять змінної х (точніше х, входить у ці рівняння з коефіцієнтом 0) і утворюють СЛР 2х2 від у і z, до якої можна застосувати формули Крамера:
,
.
Розглянемо вираз у знаменниках дробів. Це визначник 2-го порядку, розкриваємо його за означенням, отримуємо:
дужками виділені доданки, які взаємно знищуються; маємо:
.
Так само розкриваємо визначники 
і 
– в чисельниках.
Вправа. Отримати розгорнуті вирази для 
і 
і переконатись у вірності виразів:
,
.
Маємо:
, 
,
де
,
,
.
Вправа. Підставити отримані вирази для y та z у перше рівняння СЛР 3 х 3, виконати необхідні перетворення й переконатись у вірності виразу:
,
де
.
Вирази для 
мають однакову алгебраїчну структуру, вони отримані за однією й тією самою схемою, причому складаються з елементів квадратних таблиць – квадратних матриць 3-го порядку:
,
,
,
.
Бачимо, що кожний вираз є алгебраїчною сумою шести доданків; кожний доданок є добутком трьох елементів матриці; три добутки беруться з їх знаками, три – з протилежними; які саме елементи утворюють добутки, і які добутки з якими знаками беруться, ілюструє така схема:
Означення (визначника 3-го порядку).
Визначником (або детермінантом) 3-го порядку, тобто визначником квадратної матриці 3х3
,
позначення:
або 
,
називається число, обчислене за формулою
.
Нехай маємо квадратну СЛР розмірів 3х3, тобто СЛР, що складається з 3-х рівнянь від 3-х змінних
Визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих, називається основним визначником СЛР, визначники, отримані заміною в основному визначнику певного стовпчика на стовпчик вільних членів, називаються допоміжними визначниками СЛР.
Проведені міркування і виконані перетворення є доведенням теореми:
Теорема Крамера (для СЛР 3х3). Якщо основний визначник СЛР відмінний від нуля, то СЛР має, і до того ж єдиний, розв’язок, який можна обчислити за формулами Крамера:
,
де
, 
, 
, 
.
Приклад. Знайдемо точку перетину площин
,
,
.
Складаємо СЛР, вільні члени одразу переносимо в праві частини рівнянь:
З’ясовуємо можливість застосування правила Крамера (основний визначник СЛР має бути відмінний від нуля):
правило Крамера можна застосувати.
Обчислюємо допоміжні визначники:
,
, 
.
За формулами Крамера:
, 
, 
.
Перевірка (підставляємо знайдені значення змінних в кожне рівняння):
Перевірка підтвердила правильність виконаних обчислень, отже точкою перетину площин є точка 
.
Дата публикования: 2014-10-25; Прочитано: 821 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
