![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Так само, як і точка, пряма лінія в геометрії є неозначуваним поняттям. І так само ми зустрічаємо “означення” прямої в “Началах” Евкліда. Спочатку Евклід визначає поняття лінії: це “ довжина без ширини ”. Пряма лінія — це “ лінія, яка однаково розташована по відношенню до кожної із своїх частин ”.
В аналітичній геометрії, тепер, коли ми можемо ототожнити точки з парами чи трійками координат, можна дати означення прямої лінії: пряма — це геометричне місце точок, координати яких задовольняють лінійне рівняння (це означення прямої лінії на координатній площини):
.
Наведене рівняння зветься загальним рівнянням прямої і відоме з курсу математики для середньої школи; там же визначалось рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
.
Параметри у цьому рівнянні мають такий геометричний зміст:
– кутовий коефіцієнт – тангенс кута нахилу прямої до додатного напрямку осі абсцис,
– точка на осі ординат, через яку проходить пряма. Очевидною умовою паралельності прямих є рівність їх кутових коефіцієнтів:
Тригонометрія дає умову перпендикулярності двох прямих. Нехай
,
(цей запис говорить, що прямі задані відповідними рівняннями), тоді умовою перпендикулярності цих прямих буде такий зв’язок між їх кутовими коефіцієнтами:
В цьому параграфі ми познайомимось ще з двома типами рівнянь прямої:
— канонічне рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
і
:
;
— рівняння прямої “у відрізках”:
.
В цьому рівнянні і
— це відрізки, які пряма відтинає на координатних осях; точніше буде сказати так: дана пряма проходить через точки
і
.
Поєднаємо тепер геометрію з алгеброю для розв’язання задачі: на даній прямій знайти точку, найближчу до заданої точки. Цю задачу будемо розглядати для конкретних заданих прямої та точки, а саме, нехай пряма лінія визначається рівнянням
, а задана точка
має координати
.
В геометрії аналогом подібних задач, тобто задач на обчислення, є задачі на побудову (циркулем і лінійкою). Першим кроком у розв’язанні таких задач є аналіз, який починається словами: “припустимо, що задача розв’язана”. Далі будується ескізний малюнок, який аналізується щодо можливості побудови відповідної фігури. В аналітичній геометрії ми робимо аналогічне припущення: нехай — шукана точка прямої. Підставимо координати точок
і
у формулу відстані між двома точками:
.
Координати точки мають задовольняти рівняння прямої, отже
.
Звідси можна виразити одну з невідомих координат точки через іншу. В даному випадку доцільніше виразити
через
:
.
Підставимо вираз для у формулу для
:
Точка має доставляти мінімум відстані
, а отже, і функції
.
В математичному аналізі за мінімуми “відповідає” теорема Ферма (§ 19), в аналітичній геометрії ми маємо у розпорядженні геометричні міркування і алгебраїчні перетворення.
Геометричні міркування. Найближча точка від даної на даній прямій – це основа перпендикуляра, опущеного з даної точки на дану пряму. Перетворюємо рівняння даної прямої у рівняння з кутовим коефіцієнтом:
. Кутовий коефіцієнт даної прямої
. Кутовий коефіцієнт перпендикулярної прямої
. Рівняння перпендикуляра
. Знаходимо точку перетину даної прямої і перпендикуляра до неї – розв’язуємо систему рівнянь:
.
Звідси
і
.
Отже, найближчою для точки на прямій
буде точка
.
Більш складним і цікавим щодо застосування методу координат є задача про визначення місця для побудови водокачки (див. Вступ).
За відправну точку при побудові математичної моделі задачі можна взяти таку аналітико-геометричну задачу: на осі абсцис знайти точку з мінімальною сумою відстаней до заданих точок і
.
y
![]() | |||||
| |||||
![]() | |||||
![]() |
|
Далі можна, знову ж таки, йти „простим” шляхом і звести задачу до
знаходження точки мінімуму ірраціональної функції:
,
для чого застосувати теорему Ферма. Тільки тоді доведеться розв’язувати не таке вже й просте ірраціональне рівняння (див. § 19).
Аналітична геометрія може дуже елегантно розв’язати цю задачу, використовуючи тонкі геометричні міркування:
Побудуємо точку , симетричну
відносно прямої
, що визначає лінію берега. З’єднаємо
з
. Шукана точка
— це точка перетину
з
. Стверджується, що ця точка є шуканою (доведення цього факту є вправою для самостійного доведення).
Тепер алгебраїчна реалізація геометричної ідеї:
1) складаємо рівняння перпендикуляра до прямої , який проходить через точку
;
2) знаходимо точку перетину перпендикуляра з прямою (це буде середина відрізка
;
3) використовуючи формулу для координат середини відрізка, знаходимо координати точки ;
4) складаємо рівняння прямої, що проходить через точки і
;
5) розв’язуємо систему рівнянь, складену з рівняння даної прямої і прямої
; отримаємо координати шуканої точки
.
Дата публикования: 2014-10-25; Прочитано: 3390 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!