Функция. Основные свойства функций

Переменная величина, характеризующая какой-то процесс, обычно возникает не индивидуально, а в связи с другими переменными величинами. Дело в том, что процессы, протекающие в окружающем мире, являются достаточно сложными и характеризуются многими переменными величинами, связи между которыми составляют закономерности, проявляющиеся в ходе данного процесса. Кроме того, любой процесс происходит не изолированно, а во взаимодействии с другими процессами.

Пример. Состояние газа при фиксированной температуре характеризуется давлением и объемом , занятым газом. Эти переменные величины связаны зависимостью , где - постоянная (закон Бойля-Мариотта).

Математическую основу изучения связей между переменными величинами составляет понятие функциональной зависимости переменных величин или понятие функции.

Определение. Функцией f с областью определения D и областью значений Е называется некоторое отображение из D в Е, т. е. соответствие, при котором каждому элементу сопоставляется единственный элемент .

Буква (или ) употребляется для обозначения функции чаще других, так как является пер-

вой буквой слова "funktion" - "функция". Иногда функции записываются и так: ; и т.д. При таких записях как бы "экономят" букву: и значение функции, и закон соответствия обозначают одной буквой. Понятие функции является основным понятием математического анализа. Что надо знать, чтобы была задана функция? Прежде всего, должна быть известна область значений аргумента . Эта область значений аргумента называется областью определения функции. Затем мы должны знать, как по любому значению из области определения находится соответствующее ему значение

. Правило , согласно которому по любому значению из области определения находится соответствующее этому значение , называется законом соответствия для данной функциональной зависимости.

Таким образом, для того чтобы функция была определена, надо знать: а) область определения; б) закон соответствия. Обычно функция задается аналитически - какой-нибудь формулой. Иногда закон соответствия задается разными формулами на разных участках ее области определения.